Сделай Сам Свою Работу на 5

Лекция 4.1 «Функции нескольких переменных»





МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебно-методическое пособие

 

 

 

 

Краснодар

 

 

УДК 517

ББК 22.12

С13

 

В учебно-методическом пособии использованы материалы, разработанные доцентом кафедры «Информатика и ЭММ» Миселимян Т.Л.

 

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор факультета педагогики, психологии и коммуникативистики КубГУ, г. Краснодар,

Ю.И. Дударев

 

Кандидат педагогических наук, профессор кафедры «Информатика и ЭММ» Южного института менеджмента, г. Краснодар,

Б.А. Бурняшов

Савчук С.Б.

С13 Функции нескольких переменных. Учебно-методическое пособие. Краснодар: ЮИМ, 2012. –47с.

 

В учебно-методическом пособии разработаны обучающий и контролирующий блоки, содержащие материал, соответствующий содержанию 4-го раздела «Функции нескольких переменных» учебной дисциплины «Математический анализ». Предложены тезисы-лекции, решения типовых упражнений, задания для самостоятельной работы студентов, а также варианты тестов.

Пособие предназначено для подготовки студентов направлений 080100 Экономика, 080200 Менеджмент,100400 Туризм. Оно также может быть использовано преподавателями «Математического анализа» и «Математики» в учебном процессе при систематизации учебного материала и для контроля уровня усвоения данной темы.



Рекомендовано к изданию научно-методическим советом
(протокол № 10 от 14. 06. 2012 г.)

 

 

Ó Издательство ЮИМ

Содержание

 

Пояснительная записка. 4

Обучающий блок. 5

Содержание лекций (тезисы) 5

Практические занятия. 19

Контролирующий блок. 39

Литература. 46

 

 

 

Пояснительная записка.

 

Структура учебно-методического пособия содержит обучающий блок и контролирующий блок.

В обучающем блоке структурирован учебный материал по нескольким ведущим темам раздела «Функции нескольких переменных». Это позволяет систематизировать большой объем учебного материала в единую логически связанную систему. Каждая тема разбита на отдельные вопросы, определенная порция которых изучается, как правило, в течение одной лекции. Материал этого блока представлен в форме тезисов. Для выработки навыков на практических (семинарских) занятиях предлагаются решения типовых упражнений.



Контролирующий блок состоит из контрольного тестирования.

Разработанные блоки носят как учебно-методический, так и чисто практический характер. Не претендуя на полноту и окончательность теоретического и практического содержания раздела, пособие, по мнению авторов, должно способствовать более четкому и содержательному представлению курса Математического анализа, повысить качество формирования у студентов общекультурных и профессиональных компетенций, системы математических знаний и умений, являющихся составными компонентами экономических знаний и умений, а также способствовать повышению методической компетентности преподавателей.

 

Обучающий блок

 

Содержание лекций (тезисы)

Лекция 4.1 «Функции нескольких переменных»

Вопросы:

1.Евклидово пространство Еm.

2.Множество точек Евклидова пространства.

3.Понятие функции.

4.Линии уровня, частные производные.

5.Полный дифференциал.

6.Производная по направлению.

Координатное пространство (или n-мерное векторное пространство) будет Евклидовым n-мерным пространством , если в нем определено скалярное произведение двух n-мерных векторов, удовлетворяющее свойствам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , если , то есть, указан способ определения расстояния между двумя точками и

.

Определение. Множество точек принадлежащих Rn и удовлетворяющих неравенству , называется -окрестностью точки и обозначается Оε( ) или n-мерным шаром радиуса с центром в точке . Выколотой -окрестностью точки являются все точки множества Оε( ), за исключением самой точки .



Если , то n-мерный шар называется замкнутым; если , то n-мерный шар называется открытым. При , будем иметь n-мерную сферу радиуса с центром в точке .

Определение.Пусть даны n положительных чисел и точка . n-мерным параллелепипедом с центром в точке называется множество , координаты точек которого удовлетворяют условию , . Двумерный параллелепипед называется прямоугольником.

Определение. Если любая выколотая -окрестность точки содержит, по крайней мере, одну точку множества , то называется предельной точкой множества D.

Определение. Множество называется ограниченным, если существует n-мерный параллелепипед , содержащий множество D.

Определение.Будем говорить, что в области задана функция n переменных или , если для любой точки из области D по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число , обозначаемое и называемое значением функции в точке М.

 

Множество называется областью определения функции, а Е – областью изменения функции . Поскольку точка может быть любой, то ее компоненты можно рассматривать как переменные величины. Компоненты точки М называют независимыми переменными или системой значений аргументов, а зависимой переменной. Если системе значений аргументов соответствует только одно определенное значение у, то функция является однозначной, если несколько определенных значений у, является многозначной.

Обозначения в случае , : функция двух переменных ; функция трех переменных .

 

Основные способы задания функции f(M) – аналитический, геометрический и табличный.

Функции нескольких переменных заданы неявно, когда аргументы и функция связаны уравнением .

Функции нескольких переменных заданы параметрически, если n аргументов и функция выражены явно через n новых переменных (параметров):

, ,

(для случая двух переменных). Аналогично для случая .

Кривые, получающиеся в сечении поверхности и спроектированные на плоскость Oxy, называют линиями уровня. Их уравнение .

Пусть функция f(M) определена на множестве , и точка M0 является предельной точкой множества .

 

Определение. Число А называется пределом функции при М→М0, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется выколотая -окрестность точки М0, такая, что для всех , и . Обозначается предел так .

Определение.Говорят, что функция f (M) имеет предел, равный бесконечности при М→М0, если для любого N > 0 найдется выколотая -окрестность точки M0, такая, что │f (M)│>N для всех M D, М≠М0, . Обозначение .

Определение.Функция называется ограниченной на множестве D, если существует такое число K, что для всех .

Аналогично случаю функции одной переменой для пределов функций переменных справедливы соответствующие теоремы о пределах суммы, произведения и частного.

Определение.Если , то функция называется бесконечно малой в точке .

 

Теорема.Сумма и произведение конечного числа функций бесконечно малых в точке M0, а также произведение бесконечно малой в точке M0 на ограниченную функцию являются функциями бесконечно малыми в точке M0.

Определение.Пусть функция определена на множестве , M0 – предельная точка D. Функция называется непрерывной в точке M0, если существует предел функции в точке M0, равный значению функции в этой точке, то есть .

Теорема. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна в каждой точке своей области определения.

Определение.Функция n переменных называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Теорема.Всякая функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Теорема. Если непрерывная в точке функция принимает в этой точке положительное (или отрицательные) значения, то она принимает значения того же знака во всех точках достаточно близких к данной.

Если в некоторой точке не выполняется условие непрерывности функции , то эта точка называется точкой разрыва функции. Это может произойти в следующих случаях:

1) функция определена во всех точках выколотой - окрестности точки , за исключением самой точки ;

2) функция определена во всех точках выколотой -окрестности точки , но не существует ;

3) функция определена во всех точках выколотой - окрестности точки , существует , но он не равен f (M0).

Пусть дана поверхность .

Частным приращением z по x обозначают

(1)

Частное приращение z по y.

(2)

Определение.Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел (если он существует) отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю, то есть

(3)

(4)

Самое вычисление частной производной осуществляется по правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все независимые переменные, кроме одной, по которой вычисляется частная производная, считаются .

Сообщив аргументу х приращение , а аргументу у – приращение , получим для новое приращение , которое называется полным и определяется по формуле

(5)

Замечание. .

Теорема. Если частные производные , существуют в точке и в некоторой ее окрестности, а также являются непрерывными функциями аргументов , в этой точке, то имеет место формула

(6)

где , при , .

Определение. Функция , определенная на множестве D и непрерывная в точке M0, называется дифференцируемой в точке M0, если полное приращение в некоторой окрестности точки M0, можно представить в виде

, (7)

где A и B– числа, , при .

 

Теорема.Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

 

Определение. При выполнении соотношения (5.11) функция будет дифференцируемой в точке . И только в этом случае линейная часть приращения функции называется главной частью приращения или ее полным дифференциалом и обозначается символом , то есть

. (8)

Если , то выражение (8) запишется в виде

,

если , то .

Тогда дифференциал функции можно записать через дифференциалы независимых переменных

. (9)

Выражение называется частным дифференциалом по х и обозначается символом dx z, то есть . Аналогично частным дифференциалом функции по у будет выражение , то есть .

Следовательно, компактная запись выражения (9),

. (10)

Теорема. Пусть даны функция , определенная на множестве D, и функции , , определенные на множестве A. При этом , , если , , то есть при изменении точки не выходят за пределы области D; и . Если функция имеет непрерывные частные производные в точке , и существуют производные и в соответствующей точке t0, то сложная функция также имеет производную в точке , равную

. (11)

Теперь рассмотрим тот случай, когда функции x и у зависят не от одной переменной t. Например, , . Кроме существования и непрерывности частных производных функции z=f(x,y) в точке (x0-,y0), мы предполагаем здесь существование и непрерывность частных производных от функций x и y по переменным t и v в соответствующей точке (t0,v0). После подстановки функций φ и ψ в функцию f мы будем иметь функцию от двух переменных t и v. Возникает вопрос о существовании частных производных и . Этот случай отличается от уже изученного тем, что вместо полной производной функции z мы будем иметь частные производные по переменным t и v, и вместо производных функции одной переменной и будут частные производные и . Поэтому формула (11) имеет вид

, (12)

аналогично по переменной v .

Если функция z=f(x,y) имеет в точке М(х,у) непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки М(х,у); вычисляется эта производная по формуле

где и напраляющие косинусы вектора l0, где .

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.