Некоторые виды функций нескольких переменных. Область определения. Линии уровня. Частные производные. Градиент

1. Найти D область определения функций:

а). ;

б). ;

в)..

Решение.а). Логарифм по любому основанию существует только положительных величин. Значит, должно выполняться неравенство или . Это неравенство геометрически изображает полуплоскость, расположенную по одну сторону от прямой . Сама граница в область определения не включается. Область определения – открытое и неограниченное множество (рис. 8. а).

б). Функция будет существовать, если . Из этого неравенства получаем следующее объединение .

Первая система неравенств определяет первую четверть координатной плоскости , а вторая – третью четверть этой плоскости. Координатные оси входят в область определения D. Это множество неограниченное и замкнутое (рис. 8. б).

а) б)

в)

Рис. 8.

в). Функция будет существовать тогда, когда подкоренное выражение будет положительным (равенство нулю недопустимо, так как корень находится в знаменателе дроби). Значит, или . Это неравенство описывает часть пространства R³, лежащее за пределами сферы . Сама сфера к области определения не подключается. Следовательно, искомая область D является открытым и неограниченным множеством (рис. 8. в).

2. Построить поверхности, заданные следующими уравнениями:

а).;б).;

в).;г).;д).;

е).; ж).;з). .

Решение.а).Эта поверхность называется эллипсоидом. Построение ее выполняется с помощью сечений координатными плоскостями(рис. 9. а).

а) б)

в) гг г)

д) е)

ж) з)

Рис. 9.

Система уравнений определяет на плоскости эллипс .Система уравнений определяет на плоскости эллипс , а система уравнений изображается на плоскости эллипсом .

б). Заданная поверхность носит название однополостный гиперболоид. Для построения этой поверхности применим тот же метод, что и в пункте «а» (рис. 9. б).

Систему мы уже рассматривали в предыдущем примере. Система уравнений на плоскости определяет гиперболу . - действительная ось гиперболы, - мнимая ось. Аналогично в плоскости система уравнений определяет гиперболу .В сечении плоскостью , параллельной плоскости , получится эллипс

в).Такая поверхность называется двуполостным гиперболоидом, (рис. 9.в). Построена эта поверхность прежним методом, что и в предыдущих примерах.

Система уравнений описывает гиперболу на плоскости , – гипербола на плоскости . Система описывает эллипс на плоскости , параллельной плоскости .

г). Поверхности такого типа называют конусом. Его вершина находится в начале координат, а за направляющую может быть взят эллипс , плоскость которого перпендикулярна к оси и удалена от начала на расстояние равное 1 (рис. 9. г).

д). Поверхность эта является примером эллиптического параболоида. Его вершина находится в начале координат. Сечения, параллельные оси Oz, – параболы; сечения, параллельные плоскости Oxy – эллипсы (рис. 9.д).

е). Гиперболический параболоид – название поверхности этого примера. Сечения, параллельные плоскости , – одинаковые параболы. Сечения, параллельные плоскости , – одинаковые параболы; сечения, параллельные плоскости – гиперболы (а также пара пересекающихся прямых, рис. 9.е).

ж). В этом примере поверхность является эллиптическим цилиндром (рис. 9. ж). На плоскости направляющей линией является эллипс.

з). Эта поверхность – тоже цилиндр, но параболический, так как направляющей линией является парабола y = x² (рис. 9.з).

3. Для значения построить линию уровня функции z=x/y.

Решение.Эта функция существует при у ≠ 0, х R. Уравнение линии уровня x/y = 1, у ≠ 0. Полученное уравнение в плоскости описывает прямую с выколотой на ней точкой в начале координат (рис. 10).

Рис. 10.

4. Построить поверхности уровней для и=0; 1 функции и=х² + у² + z².

Решение. Пусть , тогда в пространстве уравнение поверхности уровня определяет точку О(0,0,0) –начало координат (сумма положительных величин равна нулю в том случае, если эти величины равны нулю).

Пусть и = 1, тогда – уравнение поверхности уровней описывает шар радиуса 1 с центром в начале координат трехмерного пространства .

5. Вычислить пределы:

а). , б). .

Решение.а).При и данное выражение дает неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, надо и числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряженное знаменателю. Получим =

= =

Ответ. 2.

б). =

=0+2=2.

Ответ. 2.

6. При каком значении С z(x,y) функция будет непрерывной на всей плоскости ?

Решение.

Значит, C=0 при .

Ответ. 0.

7. Выяснить, когда функция

будет непрерывной.

Решение. Функция , если , существует на множестве , является элементарной, следовательно, непрерывной во всех точках данного множества.

Исследуем на непрерывность заданную функцию в точке . В самой точке (0,0) функция равна нулю. Вычислим , получим, что , то есть предел зависит от углового коэффициента , что означает – предел не существует.

Рассмотрим конкретно два направления из пучка прямых , это и .

Тогда и .

А это значит, что вдоль осей координат функция является непрерывной функцией.

В результате имеем следующее: функция будет непрерывной в (0, 0) только по переменным и в отдельности и не является непрерывной по совокупности переменных.

Ответ. В точке (0, 0) функция имеет разрыв по совокупности переменных.

8. Найти частные приращения функций:

а). ; б). .

Решение. К данным функциям применим формулы (1) и (2), получим

а). ; ;

б). ; ;

9. Найти частные производные функций

а). ; б). ; в). .

Решение. В данных функциях фиксируем все переменные, кроме той, по которой вычисляем частную производную. Получаем в этом случае функцию одной переменной. Ее производная вычисляется по правилам дифференцирования и таблице производных.

а). ; ; б). ; ;