Лекция 4.2 «Функции нескольких переменных »

Вопросы:

1.Частные производные высших порядков.

2.Локальный экстремум функции нескольких переменных (определение, признаки экстремума).

Пусть частные производные функции существуют на некотором промежутке D. Тогда они являются функциями аргументов x, y, которые могут быть непрерывными и иметь частные производные в точках множества D^/.

Определение. Частные производные от частных производных называются частными производными второго порядка и обозначаются

; , (13)

; . (14)

Производные и называются смешанными производными. Если функция f(M) имеет n аргументов, то общее число всего вторых частных производных равно n², а число смешанных производных равно n²-n.

Теорема. Если функция и ее частные производные непрерывны на множестве D, то значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования.

Определение. Значение функции f(M) в точке М₀ называется максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках.

Для локального максимума выполняется неравенство f(M₀)> f(M) для всех точек М(х,у) из ρ-окрестности точки М₀. Расстояние между М₀ и М определяется по формуле и является достаточно малым числом. Аналогично вводится понятие минимума. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а точка М₀(х₀,у₀) – экстремальной точкой.

Определение. Точки, в которых частные производные функции z = f(x, y) равны нулю или не существуют, называются критическими или стационарными.

Рис. 1.

Если функция нескольких переменных имеет экстремум, то это может быть только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которых все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существуют, то есть в критических точках.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция z=f(x,y) дифференцируемая в области существования и f(M₀)> f(M) (f(M₀) < f(M)) для всех точек М из ρ- окрестности точки М₀, то частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть z_x^/(M₀) = 0, z_y^/(M₀) = 0.

Критическая точка М₀ будет точкой экстремума функции f(M), если для всех точек М, достаточно близких к М₀, приращение функции ∆f= f(M) - f(M₀) не меняет знака. Причем, если ∆f > 0, то точка М₀ есть точка минимума, а если ∆f < 0, то М₀– точка максимума функции.

Теорема(достаточные условия экстремума). Пусть точка М₀ – критическая точка функции z = f(x, y), в которой функция дважды дифференцируема, то есть , , . Тогда, если ∆ = АС - В² имеет положительный знак, то в точке М₀ есть экстремум, причем, если А>0 (С>0 при А = 0), то минимум, если А<0 (С<0 при А = 0), то максимум. Если же ∆< 0, то экстремума нет. При ∆ = 0 требуются дополнительные исследования.

Понятия наибольшего и наименьшего значений функции многих переменных определяются так же, как и для функции одной переменной. Наибольшее или наименьшее из всех значений функции нельзя смешивать с максимумом или минимумом функции, которые являются наибольшим или наименьшим значением функции только по сравнению с ее значениями в соседних точках. Если функция разрывная или непрерывная в незамкнутой области, то она может не иметь ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Пусть функции z = f(x, y) (не нарушая общности рассуждений, ограничимся двумя переменными) определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D и имеет в этой области конечные частные производные. Тогда по теореме Вейерштрасса в этой области найдется точка М₀(х₀,у₀), в которой функция получает наибольшее (или наименьшее) из всех значений. Если точка М₀(х₀,у₀) лежит внутри области D, то в ней функция имеет максимум (минимум), а это означает, что точка М₀(х₀,у₀) – критическая. Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция z = f(x, y) может достигать и на границе области.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Найти критические точки, лежащие внутри области D и вычислить значения функции в этих точках, не исследуя их на экстремум.

2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области D.

3. Сравнить полученные значения функции. Самое большое (меньшее) из них и будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области D.

Пусть в ходе исследования (например, покупательского спроса) получена следующая таблица, где х – аргумент (цена товара) у – функция (количество товара).

х	х₁	х₂	…	х_n
у	y₁	y₂	…	y_n

Требуется по этим данным получить функциональную зависимость (кривую спроса). Основываясь на графическом представлении (рис.2), эта зависимость может быть или линейная у = ах+b (1) или квадратичная
y = ax²+bx+c (2).

Метод наименьших квадратов (МНК) предусматривает нахождение параметров a, b, c из условия min суммы квадратов отклонений.

Рассмотрим линейную зависимость у = ах+b. В этом случае сумма квадратов отклонений вычисляется по формуле