Сделай Сам Свою Работу на 5

Магнитных полей прямолинейного и кругового токов





3.4.1. Магнитное поле прямолинейного бесконечно длинного

проводника с током

 

 
 

Определим напряженность магнитного поля, порождаемого бесконечно длинным проводником с током I, в точке А, равноудаленной от его концов (рис. 3.3,а). Для чего выделим некоторый участок проводника длиной , а рассматриваемую точку расположим на кратчайшем расстоянии r0 от него.

На основании закона Био- Савара- Лапласа каждый элемент проводника в рассматриваемой точке создает магнитное поле с напряженностью (рис. 3.3,б):

, (3.5)

где I - величина тока в проводнике;

r - расстояние от элемента проводника dl до рассматриваемой точки поля;

a - угол между направлением тока в проводнике и направлением на рассматриваемую точку поля;

= | | - численное значение вектора, равного элементу проводника, направление которого совпадает с направлением тока.

Из рис. 3.3,б видно, что

; .

Тогда

. (3.6)

Применив принцип суперпозиции магнитных полей, проинтегрировав выражение (3.6) в пределах от a1 до a2 (где a1 и a2 – соответственно углы между направлением тока в проводнике и направлением на рассматриваемую точку поля), получим



. (3.7)

При симметричном расположении точки М относительно концов проводника cosa1 = - cosa2, тогда

, (3.8)

где

.

Для бесконечно длинного проводника a1®0, a2®¥, тогда

. (3.9)

Направление векторов и совпадает с направлением касательной к цилиндрической поверхности радиуса r. По мере удаления от проводника и убывают по гиперболе (рис. 3.4).

Зная связь между напряженностью и индукцией магнитного поля, можно получить соответствующие формулы для определения индукции магнитного поля:

;

; . (3.10)

 

Параметры магнитного поля и остаются постоянными для любой точки, лежащей на цилиндрической поверхности, которой принадлежит точка и ось которой совпадает с осью проводника. Это обусловлено цилиндрической симметрией магнитного поля бесконечного линейного тока (рис. 3.5).

3.4.2. Магнитное поле на оси кругового проводника с током

 

Магнитное поле на оси кругового проводника радиусом R, в котором существует ток I, является результирующим полем от всех элементов проводника (рис. 3.6). Каждый из диаметрально противоположных элементарных участков в точке, лежащей на оси проводника, создает свое собственное поле с напряженностью dH'. Вектор dH направлен под углом q к оси проводника. Разложим dH на две составляющие: dHII, направленную вдоль оси, и dH^, перпендикулярную ей. Из рисунка можно установить, что для каждой пары диаметрально противоположных участков составляющие dH^ равны по величине и противоположны по направлению, а составляющие dHII равны по величине и одинаково направлены. Поэтому при геометрическом сложении элементарных напряженностей dH от всех участков составляющие dH^ взаимно уничтожаются и результирующая напряженность магнитного поля H в точке на оси кругового проводника будет равна алгебраической сумме всех dHII, т.е. интегралу, взятому от dHII по всему круговому контуру :



. (3.11)

Численное значение

, (3.12)

где R - радиус кругового проводника;

r - расстояние от элемента проводника до рассматриваемой точки поля.

Учитывая, что по закону Био-Савара-Лапласа и что a = 90o, можем записать

.

Подставляя последнее выражение в формулу (3.11) и учитывая, что I, R и r для всех участков кругового проводника одинаковы, получим

. (3.13)

Так как = 2pR; , то окончательное выражение напряженности поля примет вид

. (3.14)

Вектор напряженности магнитного поля направлен вдоль оси кругового проводника с током.

Отметим, что при ro = 0, т.е. в центре кругового проводника, напряженность магнитного поля

. (3.15)

На рис. 3.7 показана картина линий напряженности магнитного поля кругового тока.

Для нахождения направления векторов и в точках, лежащих на оси, применяется «правило буравчика»: буравчик располагается вдоль оси кругового тока и вращается по направлению тока, поступательное движение его укажет направление , .



Магнитное взаимодействие токов.

Силы Лоренца и Ампера

Проводники с током (движущимися электрическими зарядами) создают вокруг себя магнитное поле и изменяют окружающее их магнитное поле, следовательно, магнитное поле действует как на движущиеся электрические заряды, так и на проводники с током.

При рассмотрении магнетизма как проявления релятивистского эффекта можно получить

. (3.16)

Формула (3.16) отображает силу, действующую на движущиеся электрические заряды в электромагнитном поле, которая называется обобщенной силой Лоренца.

В выражении (3.16) сила, действующая со стороны магнитной составляющей электромагнитного поля,

(3.17)

перпендикулярна как скорости частицы , так и вектору индукции магнитного поля , а ее величина пропорциональна синусу угла между векторами. Когда векторы и коллинеарны, сила Fm равна нулю.

Направление силы Лоренца определяется с помощью «правила левой руки» (если заряженная частица имеет отрицательный знак, то берется обратное направление) (рис. 3.8).

В вакууме, в однородном постоянном магнитном поле (B = mo×H, где H – напряженность магнитного поля, E = 0) заряженная частица движется по винтовой линии с постоянной по величине скоростью (рис. 3.9). При этом ее движение складывается из равномерного прямолинейного движения вдоль направления и равномерного вращательного движения в плоскости, перпендикулярной . Проекция траектории движения частицы на плоскость, перпендикулярную , представляет собой окружность. Ось винтовой линии совпадает с направлением , и центр окружности перемещается вдоль силовой линии поля.

Электрическая составляющая электромагнитного поля действует на движущиеся электрические заряды с силой

Fe = qE. (3.18)

Формула (3.16) является важнейшим соотношением электродинамики, так как позволяет связать уравнения электромагнитного поля с уравнениями движения заряженных частиц.

Закон, отображаемый формулой (3.16), справедлив не только для постоянных, но и переменных магнитных полей, и притом для любых значений скорости v. На покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует. Кроме того, эта сила не совершает работы, а лишь искривляет траекторию движения частицы, не изменяет ее энергию.

Если E ¹ 0, то движение заряженной частицы в магнитном поле носит более сложный характер. Происходит перемещение центра вращения частицы перпендикулярно полю H, называемое дрейфом частицы. Направление дрейфа определяется вектором [E´H] и не зависит от знака заряда.

Воздействие магнитного поля на движущиеся заряды приводит к перераспределению тока по сечению проводника, что проявляется в различных термомагнитных и гальваномагнитных явлениях (эффект Холла; эффект Нернста-Эттингсхаузена).

Рассмотрим действие магнитного поля на проводники, в которых существуют токи, т.е. когда в движение вовлекаются не отдельные заряды, а очень много заряженных частиц.

Например, допустим, что ток создается движением одинаковых частиц с зарядом «e» и концентрацией n. Тогда j = n×e×v. Число частиц в объеме dV будет dN = n×dV, а сила, действующая в магнитном поле на элемент объема dV,

,

или . (3.19)

Это выражение справедливо и в общем случае, когда носителями тока являются разные заряды.

Для частного случая, когда ток I течет вдоль бесконечно тонкого провода с площадью сечения S, dV = S× , j×dV = jS× , или

, (3.20)

где – вектор, направление которого совпадает с направлением тока;

j×dV - объемный вектор;

- линейный элемент тока.

В этом случае на бесконечно короткий участок провода длиной действует сила

. (3.21)

Формула (3.21), определяющая силу, действующую в магнитном поле на линейный элемент тока, была установлена Ампером и носит название закона Ампера.

Силу, действующую на провод конечной длины, можно определить интегрированием (3.21) по всей длине провода:

. (3.22)

Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют силами Ампера.

Величина силы, действующей со стороны однородного магнитного поля на прямолинейный проводник с током, пропорциональна силе тока в проводнике, длине проводника, индукции магнитного поля и синусу угла a между направлением тока в проводнике и вектором

. (3.23)

 

В случае неоднородного поля и проводника произвольной формы

. (3.24)

 

Из формулы (3.24), если проводник перпендикулярен вектору , имеем

.

Откуда при | | = 1 и |I| = 1

|B| = |F|,

 

т.е. индукция магнитного поля численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, в котором существует ток, равный единице, перпендикулярный к направлению магнитного поля.

Отсюда, действительно, индукция магнитного поля является его силовой характеристикой.

Силы Ампера не являются центральными, так как они перпендикулярны силовым линиям магнитного поля.

Рассмотрим два параллельных проводника 1 и 2 (рис. 3.10). По первому протекает ток , по второму - в одинаковом направлении. Вследствие магнитного взаимодействия проводники будут притягиваться. На проводник 2 в магнитном поле первого проводника действует сила Ампера (имеется в виду сила, действующая на отрезок проводника длиной . На бесконечный проводник будет действовать бесконечно большая сила):

.

На единицу длины проводника будет действовать сила, выражаемая формулой

.

Согласно третьему закону Ньютона на единицу длины первого проводника действует такая же по величине и противоположно направленная сила . Если же токи в проводниках антипараллельны, то возникающие силы – силы отталкивания.

Взаимодействие проводников с током наблюдается в действительности. Так, например, в результате взаимодействия токов витки катушки, по которой протекает переменный ток, периодически притягиваются друг к другу. При погружении в жидкую среду такая катушка излучает звуковые колебания.

 

Лекция №4

(Циркуляция индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля.

Теорема о циркуляции индукции магнитного поля (закон полного тока для магнитного поля) в вакууме.

Применение закона полного тока для расчета магнитных полей. Магнитный поток.)

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.