Поле двух бесконечно протяженных, равномерно заряженных плоскостей

Пусть имеются две бесконечно протяженные, равномерно заряженные плоскости, заряд на которых равномерно распределен с поверхностными плотностями +s и -s (рис. 1.15).

Каждая из плоскостей вокруг себя создаёт электрическое поле с напряженностью соответственно ₊ и _-. В пространстве, как вне плоскостей, так и между ними, существует в этом случае результирующее электрическое поле с напряженностью

= ₊ + _-. (1.14)

Численное значение вектора напряженности электрического поля от одной из плоскостей

.

В областях 1 и 3 векторы напряженности электрических полей ₊ и _- равны по величине, но противоположны по направлению. Следовательно, поля компенсируют друг друга, результирующее поле отсутствует, = 0.

В области 2 векторы напряженности электрических полей ₊ и _- направлены в одну сторону, результирующее поле характеризуется вектором , численное значение которого

₊ + _-.= . (1.15)

Таким образом, вне объёма, ограниченного плоскостями, поле отсутствует. Поле сосредоточено между плоскостями, и напряженность его одинакова по величине и направлению во всех точках ограниченной области.

Полученный результат оказывается справедливым и для поля плоскостей конечных размеров. Отклонение от полученного результата наблюдается только вблизи краёв (так называемый краевой эффект).

Потенциальная энергия,

работа поля электрического поля,

потенциал точек электростатического поля

1.3.1.Основные понятия

Заряженное тело в электрическом поле обладает потенциальной энергией. Принято считать потенциальную энергию заряда, удалённого на бесконечность от источника поля, равной нулю. Если заряд приближать к источнику, работа отрицательна, потенциальная энергия заряда возрастает.

Потенциалом электростатического поля называют отношение потенциальной энергии пробного положительного заряда к величине этого заряда

.

Потенциал j - это скаляр, могущий иметь знак «+» или «-».

Работа электрического поля по перемещению заряда может быть представлена: А = qEl×cosa (при перемещении заряда по прямой в однородном поле) или

А = q(j₁ -j₂),

где (j₁ -j₂) = U – разность потенциалов или напряжение.

Приращение потенциала отличается от напряжения только знаком:

Dj = j₂ - j₁ = -U

1.3.2. Работа сил электростатического поля.

Циркуляция вектора

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q_o (рис. 1.16), то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна:

(1.16)

где dr = dl×cosa.

Работа при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2

, (1.17)

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц измерения физических величин. В системе СИ k = 1/4pee₀;

q₁ – заряд, создающий электрическое поле;

q₂ – заряд, перемещаемый в электрическом поле;

r₁, r₂ – начальное и конечное расстояния между зарядами.

Из формулы (1.17) видно, что работа сил электрического поля по перемещению электрического заряда не зависит от траектории перемещения, а определяется только начальным и конечным положением зарядов. Следовательно, электростатическое поле электрических зарядов является потенциальным, а электростатические силы – консервативными силами.

Кроме того, из формулы (1.17) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

. (1.18)

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять положительный единичный точечный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна dA = E×dl = E_ldl, где E_l = E×cosa - проекция вектора E на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (1.18) можно записать в виде

. (1.19)

Интеграл называют циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура (1.19) равна нулю. Это еще раз подтверждает, что электростатическое поле является потенциальным. Из потенциальности электростатического поля следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми – они начинаются и заканчиваются на зарядах или же уходят в бесконечность.

Надо отметить, что формула (1.19) справедлива только для электростатического поля. Для электрических полей движущихся зарядов условие равенства нулю циркуляции вектора напряженности не выполняется. Для таких полей она отлична от нуля.

1.3.3. Энергия электрического заряда в электрическом поле

При перемещении электрического заряда под действием сил электрического поля происходит изменение его первоначального положения, что влечет за собой изменение потенциальной энергии системы. Поэтому можно утверждать, что работа сил электрического поля совершается за счет изменения (уменьшения) потенциальной энергии:

A = W₁ - W₂ = DW. (1.20)

Формула (1.20) определяет изменение потенциальной энергии, а не её величину. Следовательно, можно условно выбрать такое положение электрического заряда, при котором потенциальная энергия системы равна нулю. Принято считать потенциальную энергию системы зарядов, равной нулю, в том случае, когда один из них удален от другого на бесконечность, т.е., например, W₂ = W = 0. Тогда W₁ = A.

Таким образом, потенциальная энергия заряда, находящегося в электрическом поле другого заряда (потенциальная энергия двух электрических зарядов, системы из двух электрических зарядов), измеряется (численно равна) работой, которую совершают силы электрического поля по удалению одного из зарядов из данной точки поля в бесконечность.

Так как

(1.21)

и при r₂®¥, W₂®0, в предельном случае при r₂ = ¥, W₂ = 0, то

. (1.22)

Формула (1.22) определяет потенциальную энергию заряда, находящегося в электрическом поле другого заряда (потенциальную энергию двух электрических зарядов, системы из двух электрических зарядов).

Так как положение зарядов было выбрано произвольно, то в общем случае потенциальная энергия заряда, находящегося в электрическом поле другого заряда (потенциальная энергия двух электрических зарядов, системы из двух электрических зарядов) определяется так:

, (1.23)

где r – расстояние между центрами взаимодействующих зарядов или до рассматриваемой точки поля, в которую помещается электрический заряд.

1.3.4. Потенциал и разность потенциалов электрического поля

Так как потенциальная энергия системы электрических зарядов пропорциональна величинам зарядов, то, помещая в одну и ту же точку поля различные по величине заряды, будет изменяться потенциальная энергия.

Однако отношение потенциальной энергии системы зарядов к величине помещаемого в данную точку поля электрического заряда остается постоянным, следовательно, оно может служить характеристикой электрического поля.

Потенциальную энергию положительного единичного заряда, помещенного в данную точку поля, называют потенциалом электрического поля j. Потенциал электрического поля

. (1.24)

Если поле создано положительным точечным зарядом q, то

, (1.25)

где q – величина заряда, создающего электрическое поле;

r – расстояние от центра заряда до рассматриваемой точки поля.

Потенциал электрического поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых отдельно взятым зарядом системы:

, (1.26)

где q_i – величина i-го заряда;

r_i – расстояние от i-го заряда до рассматриваемой точки поля.

Из выражения (1.24)

W = qj.

Так как работа сил электрического поля равна убыли потенциальной энергии, т.е.

A_1,2 = - DW = W₁ - W₂ = q(j₁ - j₂),

При перемещении положительного единичного электрического заряда из данной точки поля в бесконечность

A_1,¥ = W₁ - W_¥ = qj₁,

а .

Если q = q₊ = 1, то .

Следовательно, потенциал электрического поля численно равен работе сил электрического поля по перемещению положительного единичного заряда из данной точки поля в бесконечность.

В системе СИ потенциал и разность потенциалов измеряются в вольтах.

Один вольт – это потенциал такой точки электрического поля, находясь в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией, равной 1 Дж.

1.3.5. Связь напряженности электрического поля

с его потенциалом

Каждая точка электрического поля характеризуется напряженностью и потенциалом (силовой и энергетической характеристиками). Между ними должна существовать связь, которую можно установить исходя из следующих соображений.

Элементарная работа, совершаемая силами электрического поля по перемещению электрического заряда на расстояние dl,

dA = F∙dl∙cosa = F_l∙dl = qE_l∙dl.

Работа совершается за счет убыли (уменьшения) потенциальной энергии:

dA = - dW = - q×dj.

Следовательно, имеем

qE_l×dl = - q×dj.

Отсюда

, (1.27)

где характеризует быстроту изменения потенциала в данном направлении l и называется градиентом потенциала;

l – произвольно выбранное направление.

В векторной форме grad j. (1.28)

Знак "минус" означает, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону убывания потенциала.

Проинтегрировав формулу dj = - E_l×dl, получим

;

.

Откуда , (1.29)

где d = l×cosa - расстояние между точками 1 и 2 поля.

В векторной форме выражение (1.28), можно представить так:

, (1.30)

где - единичные векторы координатных осей x, y, z.

Потенциал – это скаляр, который может изменяться при переходе от точки к точке по величине. Вектор напряжённости в каждой точке имеет определённое направление, совпадающее с направлением наиболее быстрого убывания потенциала.

1.3.6. Эквипотенциальные поверхности и их свойства

При перемещении заряда в электрическом поле в направлении, перпендикулярном силовой линии вектора ,

,

где a – угол между направлением перемещения и направлением вектора .

Это означает, что

,

j = const.

Объединяя в электрическом поле точки с одинаковыми потенциалами, получим некоторые поверхности равного потенциала – эквипотенциальные поверхности.

Через одну точку поля можно провести только одну эквипотенциальную поверхность, которая будет перпендикулярна силовой линии вектора .

По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряженности, потенциале (разности потенциалов) электрического поля.

Обычно эквипотенциальные поверхности проводят так, чтобы потенциалы двух соседних поверхностей отличались на одну и ту же величину. Тогда напряженность электрического поля в какой-либо области будет обратно пропорциональна расстоянию между эквипотенциальными поверхностями .

На рис. 1.17 приведено распределение линий вектора и эквипотенциальных поверхностей электрического поля положительного точечного заряда (рис. 1.17а), электрического поля двух точечных зарядов (рис. 1.17б), электрического поля двух разноименно равномерно заряженных плоскостей (рис. 1.17в).

Лекция №2

(Проводники и их классификация. Электрическое поле на границе проводник - вакуум.

Электроемкость уединенного проводника. Конденсаторы и их емкость.

Соединения конденсаторов.)

 

 

Предыдущая1234567891011121314Следующая

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.