Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Юго-Западный государственный университет»

ФИЗИКА

Конспект лекций

«Электромагнитные явления»

для студентов инженерно-технических специальностей

Лекция №1

(Введение. Электрический заряд и его свойства. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции электрических полей. Поток вектора напряженности электростатического поля. Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в вакууме. Работа электрического поля по перемещению электрического заряда. Циркуляция вектора напряженности электрического поля.. Потенциал и разность потенциалов электрического поля. Напряженность электрического поля как градиент его потенциала.

Эквипотенциальные поверхности..)

ВВЕДЕНИЕ

Среди всех известных видов взаимодействия электромагнитное взаимодействие занимает первое место по широте и разнообразию проявлений. Это связано с тем, что все тела построены из электрически заряженных (положительных и отрицательных) частиц, электромагнитное взаимодействие между которыми, с одной стороны на много порядков интенсивнее гравитационного и слабого, а с другой – является дальнодействующим в отличие от сильного взаимодействия.

Электромагнитным взаимодействием определяется строение атомных оболочек, сцепление атомов в молекулы (силы химической связи) и образование конденсированного вещества (межатомное взаимодействие, межмолекулярное взаимодействие).

1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Электрический заряд и его свойства.

Закон Кулона

Известно, что в природе существуют два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные. Они могут существовать в виде элементарных частиц: электронов, протонов, позитронов, положительных и отрицательных ионов и др., а также "свободного электричества", но только в виде электронов.

Электрический заряд q характеризует способность тел или частиц к электромагнитным взаимодействиям.

[q] = Кл = А×с. (1Кл – это электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1А за время 1с.)

Свойства электрического заряда:

- Существует в двух видах - положительный и отрицательный. Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые – притягиваются.

- Электрический заряд дискретен, т.е заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда е = 1,6×10^-19Кл.

- Электрический заряд инвариантен – его величина не зависит от выбора системы отсчёта (т.е не зависит от того, движется заряд или покоится).

- Электрический заряд аддитивен – т.е. заряд любой системы тел (или системы частиц) равен сумме зарядов тел (частиц), входящих в систему.

- Электрический заряд подчиняется закону сохранения заряда:

В замкнутой системе алгебраическая сумма электрических зарядов остается величиной постоянной: (1.1)

Заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует, называется точечным зарядом.

Взаимодействие точечных зарядов описывает закон Кулона:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

, (1.2)

где e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м – электрическая постоянная;

q₁, q₂ – величины взаимодействующих зарядов;

r – расстояние между зарядами;

r₀ – единичный вектор, показывающий направление силы.

Кулоновская сила направлена вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т.е является центральной.

В случае одноименных зарядов сила (сила отталкивания) положительна, разноименных (сила притяжения) – отрицательна (рис. 1.1).

Если взаимодействующие заряды находятся в однородной и изотропной среде, то Кулоновская сила:

, (1.2^/)

где e - диэлектрическая проницаемость среды, которая показывает во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в данной среде меньше их силы взаимодействия в вакууме.

Электростатическое поле

1.2.1.Напряжённость электрического поля

Согласно теории близкодействия, взаимодействие между заряженными телами передается через "посредника" – электромагнитное поле, которое создается электрически заряженными частицами.

Для количественной характеристики электрического поля вводится в рассмотрение физическая величина, называемая напряженностью электрического поля.

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Она численно равна силе, действующей на положительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля:

Если электрическое поле создается точечным зарядом q, то согласно определению напряженность такого поля:

. (1.3)

Напряженность электрического поля является его силовой характеристикой. Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на заряд, помещенный в данную точку поля. Он направлен по радиальной прямой, проходящей через заряд и рассматриваемую точку поля от заряда, если он положительный, и к заряду, если он отрицательный (рис. 1.2).

В системе СИ напряженность электрического поля измеряется: [Е] = В/м.

Из формулы (1.3) сила

(1.4)

1.2.2. Принцип суперпозиции электрических полей

Если электрическое поле создано системой точечных зарядов: q₁, q₂, q₃,........., то в произвольной точке пространства "А" каждый из них порождает свое собственное поле с соответствующей напряженностью: ₁, ₂, ₃,......... . Результирующее поле в этом случае будет характеризоваться результирующим вектором напряженности электрического поля:

. (1.5)

Величину и направление результирующего вектора напряженности E можно определить правилами геометрического сложения. Таким образом, для электрических полей оказывается справедливым принцип суперпозиции.

1.2.3. Линии напряжённости.

Однородное и неоднородное электрические поля

Иногда электрические поля изображают графически с помощью силовых линий. Силовой линией электрического поля, линией вектора напряженности электрического поля, называют линию, проведенную в пространстве, касательная к которой в любой точке совпадает с направлением вектора в данной точке. По густоте силовых линий можно судить о величине напряженности электрического поля в данном месте пространства, так как число силовых линий пропорционально напряженности электрического поля (рис. 1.3а).

Различают неоднородное и однородное электрическое поле.

Характер распределения линий вектора напряженности неоднородного электрического поля, порождаемого двумя точечными зарядами, можно представить так, как показано на рис. 1.3б.

В связи с тем, что в каждой точке поля вектор имеет определенные направление и величину, силовые линии электрического поля не пересекаются.

1.2.4. Поток вектора напряжённости электростатического поля

Если в однородном электрическом поле с напряженностью поместить некоторую площадку dS (рис. 1.4), ориентация которой в пространстве определяется с помощью положительной нормали , то число силовых линий вектора , пронизывающих данную площадку,

dФ = E_n×dS, (1.6)

где E_n = E× cosa - проекция вектора напряженности электрического поля на направление положительной нормали к поверхности dS;

a – угол между и .

Число силовых линий вектора , пронизывающих произвольную поверхность S,

. (1.7)

Формула (1.7) определяет поток вектора , пронизывающий поверхность S.

Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через поверхность S – это физическая величина, равная

. (1.8)

В случае замкнутых поверхностей

. (1.9)

На рис. 1.5 представлен поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда, который окружен сферической поверхностью с центром, совпадающим с центром точечного заряда, и поверхностью произвольной формы. Из рисунка видно, что число силовых линий вектора напряженности электрического поля , выходящих из сферической поверхности, равно числу силовых линий вектора , выходящих из произвольной поверхности. При этом принимается во внимание, что число дополнительных выходов силовых линий из произвольной поверхности полностью скомпенсировано числом дополнительных входов силовых линий в данную поверхность.

Поэтому поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность:

. (1.9)

Принято считать поток вектора , выходящий из области, охватываемой поверхностью, положительным, а входящий – отрицательным.

Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля

Если внутри замкнутой поверхности находится система из N электрических зарядов, то поток вектора напряженности через данную поверхность

. (1.10)

Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

Данное утверждение носит название теоремы Остроградского-Гаусса.

При непрерывном распределении электрических зарядов с объёмной плотностью внутри некоторой замкнутой поверхности, теорему Остроградского-Гаусса можно записать так:

. (1.11)

Выражение (1.11) называется 1 уравнением Максвелла в интегральной форме.

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет определить величину заряда в любой области, в которой известна величина , и упростить решение многих задач по определению напряженности электрических полей, созданных системами электрических зарядов.

1.2.6. Алгоритм применения теоремы

Остроградского – Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса оказывается полезной при расчётах напряжённостей электрических полей, созданных непрерывно распределёнными вдоль какой либо поверхности или внутри какого – либо объёма электрическими зарядами. Алгоритм применения теоремы Остроградского-Гаусса для решения указанных задач:

1. Предполагают геометрию электрического поля. Вводят замкнутую поверхность, отдельные части которой параллельны, а другие перпендикулярны линиям напряжённости, а одна из составляющих проходит через точку, в которой определяется напряжённость Е.

2. Записывают теорему Остроградского-Гаусса в виде

3. Производят преобразования правой и левой частей этого соотношения применительно к выбранной замкнутой поверхности и с учётом фактического распределения заряда.

4. Приравнивая полученные соотношения, находят напряжённость Е.

1.2.7. Электрическое поле бесконечно длинного,

равномерно заряженного цилиндра

Характеристикой линейного распределения заряда является линейная плотность заряда, численно равная заряду, находящемуся на единице длины, . При равномерном распределении заряда .

Для определения напряженности электрического поля, порождаемого бесконечно длинным, равномерно заряженным стержнем, радиус которого R, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса.

Для чего вокруг стержня проведем замкнутую (в рассматриваемом случае цилиндрическую) поверхность конечной длины, на боковой поверхности которой находится точка "А". Линии вектора перпендикулярны оси стержня и боковой поверхности цилиндра (рис. 1.6).

Поток вектора напряженности электрического поля через построенную замкнутую цилиндрическую поверхность

,

где Ф_o = 0 (поток через основания цилиндра), т.к. E_n = E×cosa = 0.

Следовательно

.

Ф_б – поток через боковую поверхность цилиндра, здесь E_n = Е, т.к. cosa = 1.

На основании теоремы Остроградского-Гаусса

,

тогда

= ,

а

. (1.12)

Формула (1.12) справедлива для электрического поля заряженного стержня, заряженных проводников, цилиндров, 2-х коаксиальных цилиндрических поверхностей, заряженных с одинаковой по величине линейной плотностью заряда t.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: