Изучение фазового портрета математического маятника.

Исследование явления резонанса.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения:

(2.3.1)

(2.3.2)

Здесь р, q — постоянные, f(t) — специальная правая часть вида f(t) = е ^α^t(P_n(t) cos bt + Q_m(t) sin bt), P_n(t), Q_m(t) — полиномы степени n и m, соответственно.

Аналитическое решение уравнения (2.3.1) имеет структуру

х_n = х_о + х_ч,

где х₀ = с₁х₁ + с₂х₂ — общее решение однородного уравнения ( f(t) = 0);

с₁; с₂ — произвольные постоянные,

х_1,х₂ — фундаментальная система решений однородного уравнения,

х_ч = е ^α^t(R_N(t) cos bt + S_N(t) sin bt) t^r — частное решение уравнения (2.3.1). 3десь N = max(m, n), R_N(t). S_N(t) — полиномы с неопределенными коэффициентами; если а+ib не является корнем характеристического уравнения (l² + рl + q= 0); то r = 0; если а + ib является корнем уравнения, то r равно кратности этого корня. В последнем случае получаем резонанс: частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой. Постоянные с₁, с₂ находятся из условий (3.3.2)

Задание:

1. Для уравнения описывающего малые колебания математического маятника решить аналитически начальную задачу для резонансного и нерезонансного случаев

(2.3.3)

(2.3.4)

Конкретные значения параметров системы указаны в вариантах контрольных заданий.

1. Свести задачу (2.3.3)–(2.3.4) к задаче Коши для системы ДУ.

2. C помощью компьютера решить численно задачy Коши методом Рунге-Кутты 4-го порядка для резонансного и нерезонансного случаев (для нескольких значений b), построить интегральные кривые на одном графике (на плоскости (t, х) ). Выделить случай резонанса. Сравнить численные решения c аналитическими.

3. Построить фазовыe траектории (на плоскости ( ) ) для резонансного и нерезонансного случаев.

4. Повторить численные расчеты методом Эйлера. Сравнить и объяснить полученные результаты.

> with(linalg):with(DEtools):with(plots):

> k:=1.8;b1:=0.4;b2:=0.7;t0:=0;tk:=50;w:=0.5;

Резонансный случай (b=w)

> b:=w;

> f(t):=k*cos(b*t);

> DE:=(diff(x(t),t$2)+w^2*x(t)=f(t));

Решение дифференциального уравнения в случае резонансных

колебаний (b=w=2)

> resonance_solution:=dsolve({DE,x(t0)=0,D(x)(t0)=1},[linear])

График колебаний

>DEplot(DE, x(t), t=t0..tk, [[x(t0)=0, D(x)(t0)=1]], linecolor=black, stepsize=0.05, title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\n b=w=0.5");

>DEplot(DE, x(t), t=t0..tk, [[x(t0)=0, D(x)(t0)=1]], linecolor=black, stepsize=0.05, title="Метод Эйлера\n b=w=0.5", method=classical[foreuler]);

Фазовый портрет

Нерезонансные случаи

Решение дифференциальных уравнений для значений b=0.4, b=0.6, b=0.7

> b:=b1;

> f(t):=k*cos(b*t);

> DE_2:=(diff(x(t),t$2)+w^2*x(t)=f(t));

Аналитическое решение диффренциального уравнения колебаний для b=0.4

> sol_2:=dsolve({DE_2,x(t0)=0,D(x)(t0)=1},[linear]);

Графики колебаний для значения b=0.4

>DEplot(DE_2,x(t),t=t0..tk,[[x(t0)=0,D(x)(t0)=1]],linecolor=black,stepsize=0.05,title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\nb=0.4"); DEplot(DE_2,x(t),t=t0..tk,[[x(t0)=0,D(x)(t0)=1]],method=classical[foreuler],linecolor=black,stepsize=0.05,title="Метод Эйлера\nb=0.4");

Фазовые портреты для значения b=0.4

> phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t)+w^2*x(t)=f(t)],[x(t),y(t)],t=t0..tk,[[x(t0)=0,y(t0)=1]],stepsize=0.05,linecolor=black,scene=[x,y],title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\nb=0.4"); phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t)+w^2*x(t)=f(t)],[x(t),y(t)],t=t0..tk,[[x(t0)=0,y(t0)=1]],stepsize=0.05,linecolor=black,scene=[x,y],title="Метод Эйлера\nb=0.4",method=classical[foreuler]);

> b:=b2-0.1;

> f(t):=k*cos(b*t);

> DE_25:=(diff(x(t),t$2)+w^2*x(t)=f(t));

Аналитическое решение дифференциального уравнения колебаний для b=0.6

> sol_25:=dsolve({DE_25,x(t0)=0,D(x)(t0)=1},[linear]);

Графики колебаний для значения b=0.6

>DEplot(DE_25,x(t),t=t0..tk,[[x(t0)=0,D(x)(t0)=1]],linecolor=black,stepsize=0.05,title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\nb=0.6"); DEplot(DE_25,x(t),t=t0..tk,[[x(t0)=0,D(x)(t0)=1]],method=classical[foreuler],linecolor=black,stepsize=0.05,title="Метод Эйлера\nb=0.6");

Фазовые портреты для значения b=0.6

> phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t)+w^2*x(t)=f(t)],[x(t),y(t)],t=t0..tk,[[x(t0)=0,y(t0)=1]],stepsize=0.05,linecolor=black,scene=[x,y],title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\nb=0.6"); phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t)+w^2*x(t)=f(t)],[x(t),y(t)],t=t0..tk,[[x(t0)=0,y(t0)=1]],stepsize=0.05,linecolor=black,scene=[x,y],title="Метод Эйлера\nb=0.6",method=classical[foreuler]);

> b:=b2;

> f(t):=k*cos(b*t);

> DE_35:=(diff(x(t),t$2)+w^2*x(t)=f(t));

Аналитическое решение дифференциального уравнения колебаний для b=0.7

> sol_35:=dsolve({DE_35,x(t0)=0,D(x)(t0)=1},[linear]);

Графики колебаний для значения b=0.7

>DEplot(DE_35,x(t),t=t0..tk,[[x(t0)=0,D(x)(t0)=1]],linecolor=black,stepsize=0.05,title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\nb=0.7"); DEplot(DE_35,x(t),t=t0..tk,[[x(t0)=0,D(x)(t0)=1]],method=classical[foreuler],linecolor=black,stepsize=0.05,title="Метод Эйлера\nb=0.7");

Фазовые портреты для значения b=0.7

> phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t)+w^2*x(t)=f(t)],[x(t),y(t)],t=t0..tk,[[x(t0)=0,y(t0)=1]],stepsize=0.05,linecolor=black,scene=[x,y],title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\nb=0.7"); phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t)+w^2*x(t)=f(t)],[x(t),y(t)],t=t0..tk,[[x(t0)=0,y(t0)=1]],stepsize=0.05,linecolor=black,scene=[x,y],title="Метод Эйлера\nb=0.7",method=classical[foreuler]);

Приведенные выше примеры решения конкретных задач могут быть использованы при выполнении курсовых и дипломных работ. Как показывает опыт работы авторов в этом направлении, основное задание студентов состоит, как правило, в разработке программы, реализующий некоторый алгоритм на базе полученной математической модели. При этом желательно сохранять обозначения параметров (идентификаторов) в программе такими же, как и в написанной руководителем работы математической модели. С этой целью, в приложении приведены греческий алфавит и идентификаторы его букв (строчных и заглавных), принятых в системе аналитических вычислений Maple.

3. Контрольные задания для выполнения

Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: