Сделай Сам Свою Работу на 5

Расчет собственных и вынужденных колебаний





Легкового автомобиля

 

В настоящем разделе рассматривается математическая модель легкового автомобиля, полученная профессором кафедры прикладной математики Городецким Ю.И. и приведенная в его учебном пособии [8].

Рассмотрим, согласно [8], некоторые методические соображения по поводу математической модели, описывающей колебания легкового автомобиля. При построении математической модели предположим:

1) автомобиль совершает плоские колебания в плоскости xz.

2) профиль дороги имеет синусоидальный характер.

3) автомобиль движется равномерно со скоростью V(км/ч).

4) в автомобиле выделяется четыре колебательных элемента:

а) кузов с силовым агрегатом

б) передние колёса

в) задние колёса и задний мост, которые считаются абсолютно жёсткими телами

г) пассажир

На рис. 3 приведена эквивалентная механическая модель, описывающая колебания легкового автомобиля в принятой идеализации.

Рис. 3. Блок-схема легкового автомобиля

 

На рисунке обозначено:

1) m1 – масса передних колёс,

m2 – масса задних колёс и заднего моста,

m5 – масса подрессоренной части автомобиля,

m7 – масса человека



2) I5 – момент инерции подрессоренной части автомобиля относительно оси, проходящей через точку (5) и перпендикулярной плоскости (xz)

3) c1.3 – коэффициент жесткости передних рессор,

с2.4 – коэффициент жесткости задних рессор,

с – коэффициент жесткости шин колёс,

с6.7 – коэффициент жесткости сиденья пассажира

4) h1.3 – коэффициент рассеивания энергии в передних амортизаторах,

h2.4 – коэффициент рассеивания энергии в задних амортизаторах,

h – коэффициент рассеивания энергии в шинах колёс,

h6.7 – коэффициент рассеивания энергии в сиденье пассажира

5) l = a + b (расстояние между передними и задними колёсами автомобиля)

a – расстояние от передних колёс до центра масс автомобиля

b – расстояние от центра масс автомобиля до задних колёс

6) L – длина волны синусоидального профиля дороги

7) z1(t), z2(t) – величина профиля дороги в точках 9 и 8.

 

В качестве обобщённых координат взяты q1, q2, q3, q4, q5, характеризующие вертикальные колебания передних колёс, вертикальные колебания задних колёс и заднего моста, вертикальные, а так же угловые колебания кузова автомобиля и вертикальные колебания пассажира.



При движении автомобиля по синусоидальному профилю дороги происходит взаимодействие между колёсами автомобиля и дорогой, которое необходимо учитывать при написании математической модели. Прежде всего, следует заметить, что задние колёса автомобиля набегают на профиль дороги величиной

z2(t) = z1(t–τ),

где z1(t) — величина профиля, на который набегают на передние колёса. При этом запаздывание τ = . Отметим также, что при движении автомобиля на его колёса действуют силы с частотой ω, которая определяется скоростью автомобиля и длиной профиля дороги ω = .

Теперь перейдём к построению математической модели. В основе построения лежат уравнения Лагранжа, которые имеют вид

(2.2.1)

где L = TП — функция Лагранжа,

Т и П — кинетическая и потенциальная энергии,

B — диссипативная функция Релея,

— вектор внешних сил.

Запишем выражение кинетической энергии

. (2.2.2)

Потенциальная энергия представляет собой работу упругих сил на относительном перемещении ∆ij, являющихся функциями обобщённых координат.

(2.2.3)

Диссипативная функция Релея по своей структуре напоминает выражение потенциальной энергии, записанной относительно скоростей

, (2.2.4)

где

(2.2.5)

Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода и запишем математическую модель, описывающую колебания автомобиля:

 

В матричной форме записи математическая модель имеет вид:

(2.2.6)

 

(2.2.7)

 

 

(2.2.8)

 

Структура матрицы Н идентична структуре матрицы С. Также видно, что матрицы М, Н и С являются симметричными, причем, имеет следующий вид:



Силы , действующие на колёса автомобиля со стороны дороги, определяются деформациями шины, которые зависят от амплитуды колебания колёс и профиля дороги

Окончательное выражение для сил можно записать в следующем виде:

Построенная математическая модель позволяет выполнять различные расчёты, связанные со свободными и вынужденными колебаниями автомобиля. Для расчёта собственных частот и собственных форм колебаний необходимо использовать консервативную модель, положив в общих уравнениях матрицу диссипации и вектор внешних сил равными нулю. Для расчета переходных процессов следует в общем уравнении положить вектор внешних сил равным нулю и задать начальное смещение и начальные скорости рассматриваемой системы. Для расчёта вынужденных колебаний необходимо использовать общую математическую модель, считая вектор внешних сил периодической функцией.

Таким образом, построенная математическая модель является достаточно универсальным инструментом в решении поставленной задачи об улучшения показателей динамического качества легкового автомобиля.

Разработанный алгоритм и комплекс программ предназначены для расчёта собственных и вынужденных колебаний легкового автомобиля.

В основу алгоритма и комплекса программ положена математическая модель, полученная в (2.2.1)–(2.2.8) и описывающая свободные и вынужденные колебания элементов расчётной схемы автомобиля и колебаний пассажира. В соответствии с расчётной схемой и математической моделью входными параметрами являются: инерционные параметры легкового автомобиля типа ГАЗ–3111 (массы передних колёс, заднего моста с колёсами, масса и момент инерции подрессоренной части автомобиля и масса пассажира); параметры жесткости и рассеивания энергии в элементах передней и задней подвесок. К входным параметрам можно так же отнести параметры сил, действующих на передние и задние колёса со стороны дороги (жесткость и рассеивание энергии в шинах, расстояние между осями передних и задних колёс, скорость автомобиля и длина волны профиля дороги).

 

Комплекс программ для расчета показателей динамического качества легкового автомобиля

Расчет собственных частот и форм колебаний:

> restart;

> with(linalg):with(DEtools):

Задание входных параметров:

Массы элементов расчетной схемы автомобиля: [кг]

> m1:=86;m2:=178;m3:=1000;m4:=1863;m5:=60;

Коэффициенты трения:[Hc/м]

> h13:=6000;h24:=8000;h:=1000;h67:=1000;

>

Коэффициенты жесткости в соединениях :[H/м]

> c13:=100000;c24:=44000;c:=360000;c67:=2200;

Координаты точек расчетной схемы автомобиля:[м]

> x6:=0.8;

> x5:=-0.7;

> a:=0.7; #расстояние от передних колес до центра масс автомобиля;

> b:=2.1; #расстояние от задних колес до центра масс автомобиля;

 

Матрица масс:

> M:=matrix([[m1,0,0,0,0],[0,m2,0,0,0],[0,0,m3,0,0],[0,0,0,m4,0],[0,0,0,0,m5]]);

Матрица диссипации:

> H:=matrix([[h13+1000,0,-h13,h13*a,0],[0,h24+1000,-h24,-h24*b,0],[-h13,-h24,h13+h24+h67,-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5),-h67],[h13*a,-h24*b,-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5),h13*a^2+h24*b^2+h67*(x6-x5)^2,-h67*(x6-x5)],[0,0,-h67,-h67*(x6-x5),h67]]);

Матрица жесткостей:

> C:=matrix([[c13+360000,0,-c13,c13*a,0],[0,c24+360000,-c24,-c24*b,0],[-c13,-c24,c13+c24+c67,-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5),-c67],[c13*a,-c24*b,-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5),c13*a^2+c24*b^2+c67*(x6-x5)^2,-c67*(x6-x5)],[0,0,-c67,-c67*(x6-x5),c67]]);

Проверка матриц на положительную определенность:

> definite(M,'positive_def');

> definite(H,'positive_def');

> definite(C,'positive_def');

 

Расчет обратной матрицы:

> L:=evalm(1/M);

Перемножение матриц:

> G:=evalm(L&*C);

Нахождение собственных чисел:

> eigenvalues(G);

Нахождение собственных векторов:

> eigenvectors(G);

Нахождение собственных частот:

> sqrt(5365.628126);sqrt(2284.150981);sqrt(120.9607681);sqrt(56.05716945);sqrt(34.58300993);

Перевод частоты в Герцах:

> f[5]:=evalf(73.25044796/(2*Pi));f[4]:=evalf(47.79279214/(2*Pi));f[3]:=evalf(10.99821659/(2*Pi));f[2]:=evalf(7.487133594/(2*Pi));f[1]:=evalf(5.880732091/(2*Pi));

Расчет вынужденных колебаний:

Параметры, характеризующие дорогу:

> L:=20; #длина волны синусоидального профиля дороги[м];

> l:=2.8; #расстояние между передними и задними колесами автомобиля[м];

> V:=17; #скорость движения автомобиля[м/с] ;

> z0:=0.05; #высота неровности дороги[м];


Коэффициент запаздывания:

> tau:=l/L;

Частота с которой силы действуют на колеса при движении автомобиля:

> omega:=(2*Pi*V)/L;

Профиль на который набегают передние колеса:

> z[1](t):=z0*exp(I*omega*t);

Профиль, на который набегают задние колеса:

> z[2](t):=z[1](t-tau);

Сила действующая на переднее колесо со стороны дороги:[H]

> F1,F2::complex:

> F1:=c*z0+h*z0*omega*I*exp(I*omega*t);

> G1:=evalc(Re(F1));

Сила действующая на заднее колесо со стороны дороги:[H]

> F2:=c*z0*exp(I*omega*(t-tau))+h*z0*omega*I*exp(I*omega*(t-tau));

> G2:=evalc(Re(F2));

 

Математическая модель — система обыкновенных дифференциальных уравнений десятого порядка :

> sys:=m1*diff(diff(q[1](t),t),t)+(c13+c)*q[1](t)-c13*q[3](t)+c13*a*q[4](t)+(h13+h)*diff(q[1](t),t)-h13*diff(q[3](t),t)+h13*a*diff(q[4](t),t)=G1, m2*diff(diff(q[2](t),t),t)+(c24+c)*q[2](t)-c24*q[3](t)-c24*b*q[4](t)+(h24+h)*diff(q[2](t),t)-h24*diff(q[3](t),t)-h24*b*diff(q[4](t),t)=G2, m3*diff(diff(q[3](t),t),t)-c13*q[1](t)-c24*q[2](t)+(c13+c24+c67)*q[3](t)+(-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5))*q[4](t)-c67*q[5](t)-h13*diff(q[1](t),t)-h24*diff(q[2](t),t)+(h13+h24+h67)*diff(q[3](t),t)+(-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5))*diff(q[4](t),t)-h67*diff(q[5](t),t)=0, m4*diff(diff(q[4](t),t),t)+c13*a*q[1](t)-c24*b*q[2](t)+(-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5))*q[3](t)+(c13*a^2+c24*b^2+c67*(x6-x5)^2)*q[4](t)-c67*(x6-x5)*q[5](t)+h13*a*diff(q[1](t),t)-h24*b*diff(q[2](t),t)+(-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5))*diff(q[3](t),t)+(h13*a^2+h24*b^2+h67*(x6-x5)^2)*diff(q[4](t),t)-h67*(x6-x5)*diff(q[5](t),t)=0, m5*diff(diff(q[5](t),t),t)-c67*q[3](t)-c67*(x6-x5)*q[4](t)+c67*q[5](t)-h67*diff(q[3](t),t)-h67*(x6-x5)*diff(q[4](t),t)+h67*diff(q[5](t),t)=0;

 

Начальные условия:

> c:=q[1](0)=0,q[2](0)=0,q[3](0)=0,q[4](0)=0,q[5](0)=0,D(q[1])(0)=1,D(q[2])(0)=1,D(q[3])(0)=1,D(q[4])(0)=1,D(q[5])(0)=1;

Список функций – обобщенных координат:

 

> fcns:={q[1](t),q[2](t),q[3](t),q[4](t),q[5](t)};

Решение системы уравнений:

 

Ø F:=dsolve({sys,c},fcns,numeric);

Ø

> F(2);

>

Построение графиков решений:

 

> plots[odeplot](F,[t,q[1](t)],0..25,color=blue);

 

 

> plots[odeplot](F,[t,q[2](t)],0..25,color=orange);

> plots[odeplot](F,[t,q[3](t)],0..25,color=gold);

 

 

> plots[odeplot](F,[t,q[4](t)],0..25,color=green);

> plots[odeplot](F,[t,q[5](t)],0..10,color=violet);

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.