Расчет собственных и вынужденных колебаний
Легкового автомобиля
В настоящем разделе рассматривается математическая модель легкового автомобиля, полученная профессором кафедры прикладной математики Городецким Ю.И. и приведенная в его учебном пособии [8].
Рассмотрим, согласно [8], некоторые методические соображения по поводу математической модели, описывающей колебания легкового автомобиля. При построении математической модели предположим:
1) автомобиль совершает плоские колебания в плоскости xz.
2) профиль дороги имеет синусоидальный характер.
3) автомобиль движется равномерно со скоростью V(км/ч).
4) в автомобиле выделяется четыре колебательных элемента:
а) кузов с силовым агрегатом
б) передние колёса
в) задние колёса и задний мост, которые считаются абсолютно жёсткими телами
г) пассажир
На рис. 3 приведена эквивалентная механическая модель, описывающая колебания легкового автомобиля в принятой идеализации.
Рис. 3. Блок-схема легкового автомобиля
На рисунке обозначено:
1) m1 – масса передних колёс,
m2 – масса задних колёс и заднего моста,
m5 – масса подрессоренной части автомобиля,
m7 – масса человека
2) I5 – момент инерции подрессоренной части автомобиля относительно оси, проходящей через точку (5) и перпендикулярной плоскости (xz)
3) c1.3 – коэффициент жесткости передних рессор,
с2.4 – коэффициент жесткости задних рессор,
с – коэффициент жесткости шин колёс,
с6.7 – коэффициент жесткости сиденья пассажира
4) h1.3 – коэффициент рассеивания энергии в передних амортизаторах,
h2.4 – коэффициент рассеивания энергии в задних амортизаторах,
h – коэффициент рассеивания энергии в шинах колёс,
h6.7 – коэффициент рассеивания энергии в сиденье пассажира
5) l = a + b (расстояние между передними и задними колёсами автомобиля)
a – расстояние от передних колёс до центра масс автомобиля
b – расстояние от центра масс автомобиля до задних колёс
6) L – длина волны синусоидального профиля дороги
7) z1(t), z2(t) – величина профиля дороги в точках 9 и 8.
В качестве обобщённых координат взяты q1, q2, q3, q4, q5, характеризующие вертикальные колебания передних колёс, вертикальные колебания задних колёс и заднего моста, вертикальные, а так же угловые колебания кузова автомобиля и вертикальные колебания пассажира.
При движении автомобиля по синусоидальному профилю дороги происходит взаимодействие между колёсами автомобиля и дорогой, которое необходимо учитывать при написании математической модели. Прежде всего, следует заметить, что задние колёса автомобиля набегают на профиль дороги величиной
z2(t) = z1(t–τ),
где z1(t) — величина профиля, на который набегают на передние колёса. При этом запаздывание τ = . Отметим также, что при движении автомобиля на его колёса действуют силы с частотой ω, которая определяется скоростью автомобиля и длиной профиля дороги ω = .
Теперь перейдём к построению математической модели. В основе построения лежат уравнения Лагранжа, которые имеют вид
(2.2.1)
где L = T–П — функция Лагранжа,
Т и П — кинетическая и потенциальная энергии,
B — диссипативная функция Релея,
— вектор внешних сил.
Запишем выражение кинетической энергии
. (2.2.2)
Потенциальная энергия представляет собой работу упругих сил на относительном перемещении ∆ij, являющихся функциями обобщённых координат.
(2.2.3)
Диссипативная функция Релея по своей структуре напоминает выражение потенциальной энергии, записанной относительно скоростей
, (2.2.4)
где
(2.2.5)
Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода и запишем математическую модель, описывающую колебания автомобиля:
В матричной форме записи математическая модель имеет вид:
(2.2.6)
(2.2.7)
(2.2.8)
Структура матрицы Н идентична структуре матрицы С. Также видно, что матрицы М, Н и С являются симметричными, причем, имеет следующий вид:
Силы , действующие на колёса автомобиля со стороны дороги, определяются деформациями шины, которые зависят от амплитуды колебания колёс и профиля дороги
Окончательное выражение для сил можно записать в следующем виде:
Построенная математическая модель позволяет выполнять различные расчёты, связанные со свободными и вынужденными колебаниями автомобиля. Для расчёта собственных частот и собственных форм колебаний необходимо использовать консервативную модель, положив в общих уравнениях матрицу диссипации и вектор внешних сил равными нулю. Для расчета переходных процессов следует в общем уравнении положить вектор внешних сил равным нулю и задать начальное смещение и начальные скорости рассматриваемой системы. Для расчёта вынужденных колебаний необходимо использовать общую математическую модель, считая вектор внешних сил периодической функцией.
Таким образом, построенная математическая модель является достаточно универсальным инструментом в решении поставленной задачи об улучшения показателей динамического качества легкового автомобиля.
Разработанный алгоритм и комплекс программ предназначены для расчёта собственных и вынужденных колебаний легкового автомобиля.
В основу алгоритма и комплекса программ положена математическая модель, полученная в (2.2.1)–(2.2.8) и описывающая свободные и вынужденные колебания элементов расчётной схемы автомобиля и колебаний пассажира. В соответствии с расчётной схемой и математической моделью входными параметрами являются: инерционные параметры легкового автомобиля типа ГАЗ–3111 (массы передних колёс, заднего моста с колёсами, масса и момент инерции подрессоренной части автомобиля и масса пассажира); параметры жесткости и рассеивания энергии в элементах передней и задней подвесок. К входным параметрам можно так же отнести параметры сил, действующих на передние и задние колёса со стороны дороги (жесткость и рассеивание энергии в шинах, расстояние между осями передних и задних колёс, скорость автомобиля и длина волны профиля дороги).
Комплекс программ для расчета показателей динамического качества легкового автомобиля
Расчет собственных частот и форм колебаний:
> restart;
> with(linalg):with(DEtools):
Задание входных параметров:
Массы элементов расчетной схемы автомобиля: [кг]
> m1:=86;m2:=178;m3:=1000;m4:=1863;m5:=60;
Коэффициенты трения:[Hc/м]
> h13:=6000;h24:=8000;h:=1000;h67:=1000;
>
Коэффициенты жесткости в соединениях :[H/м]
> c13:=100000;c24:=44000;c:=360000;c67:=2200;
Координаты точек расчетной схемы автомобиля:[м]
> x6:=0.8;
> x5:=-0.7;
> a:=0.7; #расстояние от передних колес до центра масс автомобиля;
> b:=2.1; #расстояние от задних колес до центра масс автомобиля;
Матрица масс:
> M:=matrix([[m1,0,0,0,0],[0,m2,0,0,0],[0,0,m3,0,0],[0,0,0,m4,0],[0,0,0,0,m5]]);
Матрица диссипации:
> H:=matrix([[h13+1000,0,-h13,h13*a,0],[0,h24+1000,-h24,-h24*b,0],[-h13,-h24,h13+h24+h67,-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5),-h67],[h13*a,-h24*b,-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5),h13*a^2+h24*b^2+h67*(x6-x5)^2,-h67*(x6-x5)],[0,0,-h67,-h67*(x6-x5),h67]]);
Матрица жесткостей:
> C:=matrix([[c13+360000,0,-c13,c13*a,0],[0,c24+360000,-c24,-c24*b,0],[-c13,-c24,c13+c24+c67,-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5),-c67],[c13*a,-c24*b,-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5),c13*a^2+c24*b^2+c67*(x6-x5)^2,-c67*(x6-x5)],[0,0,-c67,-c67*(x6-x5),c67]]);
Проверка матриц на положительную определенность:
> definite(M,'positive_def');
> definite(H,'positive_def');
> definite(C,'positive_def');
Расчет обратной матрицы:
> L:=evalm(1/M);
Перемножение матриц:
> G:=evalm(L&*C);
Нахождение собственных чисел:
> eigenvalues(G);
Нахождение собственных векторов:
> eigenvectors(G);
Нахождение собственных частот:
> sqrt(5365.628126);sqrt(2284.150981);sqrt(120.9607681);sqrt(56.05716945);sqrt(34.58300993);
Перевод частоты в Герцах:
> f[5]:=evalf(73.25044796/(2*Pi));f[4]:=evalf(47.79279214/(2*Pi));f[3]:=evalf(10.99821659/(2*Pi));f[2]:=evalf(7.487133594/(2*Pi));f[1]:=evalf(5.880732091/(2*Pi));
Расчет вынужденных колебаний:
Параметры, характеризующие дорогу:
> L:=20; #длина волны синусоидального профиля дороги[м];
> l:=2.8; #расстояние между передними и задними колесами автомобиля[м];
> V:=17; #скорость движения автомобиля[м/с] ;
> z0:=0.05; #высота неровности дороги[м];
Коэффициент запаздывания:
> tau:=l/L;
Частота с которой силы действуют на колеса при движении автомобиля:
> omega:=(2*Pi*V)/L;
Профиль на который набегают передние колеса:
> z[1](t):=z0*exp(I*omega*t);
Профиль, на который набегают задние колеса:
> z[2](t):=z[1](t-tau);
Сила действующая на переднее колесо со стороны дороги:[H]
> F1,F2::complex:
> F1:=c*z0+h*z0*omega*I*exp(I*omega*t);
> G1:=evalc(Re(F1));
Сила действующая на заднее колесо со стороны дороги:[H]
> F2:=c*z0*exp(I*omega*(t-tau))+h*z0*omega*I*exp(I*omega*(t-tau));
> G2:=evalc(Re(F2));
Математическая модель — система обыкновенных дифференциальных уравнений десятого порядка :
> sys:=m1*diff(diff(q[1](t),t),t)+(c13+c)*q[1](t)-c13*q[3](t)+c13*a*q[4](t)+(h13+h)*diff(q[1](t),t)-h13*diff(q[3](t),t)+h13*a*diff(q[4](t),t)=G1, m2*diff(diff(q[2](t),t),t)+(c24+c)*q[2](t)-c24*q[3](t)-c24*b*q[4](t)+(h24+h)*diff(q[2](t),t)-h24*diff(q[3](t),t)-h24*b*diff(q[4](t),t)=G2, m3*diff(diff(q[3](t),t),t)-c13*q[1](t)-c24*q[2](t)+(c13+c24+c67)*q[3](t)+(-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5))*q[4](t)-c67*q[5](t)-h13*diff(q[1](t),t)-h24*diff(q[2](t),t)+(h13+h24+h67)*diff(q[3](t),t)+(-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5))*diff(q[4](t),t)-h67*diff(q[5](t),t)=0, m4*diff(diff(q[4](t),t),t)+c13*a*q[1](t)-c24*b*q[2](t)+(-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5))*q[3](t)+(c13*a^2+c24*b^2+c67*(x6-x5)^2)*q[4](t)-c67*(x6-x5)*q[5](t)+h13*a*diff(q[1](t),t)-h24*b*diff(q[2](t),t)+(-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5))*diff(q[3](t),t)+(h13*a^2+h24*b^2+h67*(x6-x5)^2)*diff(q[4](t),t)-h67*(x6-x5)*diff(q[5](t),t)=0, m5*diff(diff(q[5](t),t),t)-c67*q[3](t)-c67*(x6-x5)*q[4](t)+c67*q[5](t)-h67*diff(q[3](t),t)-h67*(x6-x5)*diff(q[4](t),t)+h67*diff(q[5](t),t)=0;
Начальные условия:
> c:=q[1](0)=0,q[2](0)=0,q[3](0)=0,q[4](0)=0,q[5](0)=0,D(q[1])(0)=1,D(q[2])(0)=1,D(q[3])(0)=1,D(q[4])(0)=1,D(q[5])(0)=1;
Список функций – обобщенных координат:
> fcns:={q[1](t),q[2](t),q[3](t),q[4](t),q[5](t)};
Решение системы уравнений:
Ø F:=dsolve({sys,c},fcns,numeric);
Ø
> F(2);
>
Построение графиков решений:
> plots[odeplot](F,[t,q[1](t)],0..25,color=blue);
> plots[odeplot](F,[t,q[2](t)],0..25,color=orange);
> plots[odeplot](F,[t,q[3](t)],0..25,color=gold);
> plots[odeplot](F,[t,q[4](t)],0..25,color=green);
> plots[odeplot](F,[t,q[5](t)],0..10,color=violet);
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2025 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|