Сделай Сам Свою Работу на 5

Warning, the name changecoords has been redefined

 

> f:=(x)->piecewise(x<0,1,x<=1,x+1,2*x);

> f(x);

> F:=x->int(f(x),x);

> F(x);

Ø plot([f(x),F(x)],x=-1..2,color=[RED,NAVY],linestyle=[DOT,SOLID],thickness=2,title="КУСОЧНО-ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ \n И ИНТЕГРАЛ ОТ НЕЕ",titlefont=[TIMES,BOLD,9],legend=["ФУНКЦИЯ","ИНТЕГРАЛ"]);

 

Вычисление определенных интегралов:

> restart:

> Int(x^2*cos(x),x=0..2*Pi)=int(x^2*cos(x),x=0..2*Pi);

> Int(1/((x^3+x^2+2*x+2)^2),x=0..1)=int(1/((x^3+x^2+2*x+2)^2),x=0..1); evalf(%);

> # Интеграл с параметром;

> s:=m->int(sin(x)^m,x=0..Pi/2);

> assume(m::integer>0); # Полагаем m>0 -целое;

> s(m); # Г(x) - гамма-функция Эйлера;

Вычисление несобственных интегралов:

 

> restart: with(plots):

> y:=(x)->(x*ln(x))/(1+x^2)^2;

> Int(y(x),x=0..infinity)=int(y(x),x=0..infinity);

> evalf(%);

Ø plot(y(x),x=0..infinity,title="ГРАФИК ФУНКЦИИ y(x)",titlefont=[HELVETICA,BOLD,10],thickness=3);

 

> Int(1/(x^2+1)^2,x=-infinity..infinity)=int(1/(x^2+1)^2,x=-infinity..infinity);

Вычисление двойных интегралов:

 

> restart: with(student):

> Doubleint(x*y^2,y=x^2..x,x=0..1); # Внимание !! Порядок задания пределов интегрирования именно такой;

> value(%);

> Int(Int(x*y*(x+y),y=0..x^3),x=0..2)=int(int(x*y*(x+y),y=0..x^3),x=0..2);

> Int(Int(1/(x^2+y^2+5)^2,y=0..infinity),x=0..infinity);

> value(%);

Вычисление двойных интегралов путем перехода к полярным координатам:

 

> restart: with(student):

> A:=Doubleint(sqrt(x^2+y^2),x,y,Omega);

> # При переходе к полярным используем r и phi;

> assume(r>0); # полагаем r>o;

> changevar({x=r*cos(phi),y=r*sin(phi)},A,[r,phi]);# заменяем переменные;

> # задаем область Omega;

> Omega:=x^2+y^2<=a^2; x:=r*cos(phi);y:=r*sin(phi); Omega;#Область Omega в полярных координатах;

> simplify(%);

> Int(Int(r^2,r=0..a),phi=0..2*Pi); value(%);

 

Вычисление тройных интегралов:

 

> restart: with(student): with(plots):

> Tripleint(x*y^2*z^3,x,y,z,V);

> # Интеграл ограничен поверхностями z=xy,y=x,x=1,z=0;

> plot3d(x*y,x=0..1,y=0..1-x,axes=boxed);

 

> Tripleint(x*y^2*z^3,z=0..x*y,y=0..x,x=0..1); value(%);

> Int(Int(Int(exp(-x^2-y^2-z^2),x=-infinity..infinity),y=-infinity..infinity),z=-infinity..infinity)=int(int(int(exp(-x^2-y^2-z^2),x=-infinity..infinity),y=-infinity..infinity),z=-infinity..infinity);

> a(x,y,z):=1/(1+x+y+z)^(7/2);

Вычисление тройных интегралов через цилиндрические координаты:

> restart: with(student): with(plots):

> Tripleint(sqrt(x^2+y^2),x,y,z,V);

Ø implicitplot3d(x^2+y^2=z^2,x=-1..1,y=-1..1,z=0..1,grid=[15,15,15],axes=boxed);# Область V;

> # implicitplot3d -используется для отображения заданных в неявном виде поверхностей, а опция grid задает число базовых точек по которым строится поверхность (по умолчанию rid=[10,10,10];



> Tripleint(sqrt(x^2+y^2),x,y,z,V)=Int(Int(Int(sqrt(x^2+y^2),x=-sqrt(z^2-y^2)..sqrt(z^2-y^2)),y=-z..z),z=0..1);

> changevar({x=r*cos(phi),y=r*sin(phi)},Ihs(%),[r,phi,z]);

> # Определяем границу области интегрирования;

> x:=r*cos(phi);

> y:=r*sin(phi);

> x^2+y^2=z^2;

> simplify(%);

> # Вычиcляем интеграл;

> Int(Int(Int(r^2,r=0..z),phi=0..2*Pi),z=0..1):= int(int(int(r^2,r=0..z),phi=0..2*Pi),z=0..1);

 

1.6. Операции с рядами

Применение систем символьной математики особенно эффективно при решении одной из задач математического анализа — операций с рядами. В настоящем разделе рассматриваются задачи анализа числовых и функциональных рядов, а также разложения функций в ряды Тейлора, Фурье, асимптотическое разложение.

Числовые последовательности с заданным числом членов:

> restart:with(plots):

> sum(k^2,k=1..4);

> Sum(k^2,k=1..4)=evalf(sum(k^2,k=1..4));

> sum(k,k=1..n);

Бесконечные последовательности:

> restart:sum(-exp(-k),k=1..n);

> sum(-exp(-k),k=1..infinity);

> Sum(k*a^k,k)=evalf(sum(k*a^k,k));

> Sum(1/n!,n=1..infinity)=evalf(sum(1/n!,n=1..infinity));

> Sum(n^2*exp(-sqrt(n)),n=1..5000)=evalf(sum(n^2*exp(-sqrt(n)),n=1..5000));

> Sum(n!/n^sqrt(n),n=1..1000)=evalf(sum(n!/n^sqrt(n),n=1..500));

Вычисление факториала числа:

Ø 3!;

Ø

> factorial(50);

Двойные суммы:

> Sum(Sum(k^2,k=1..m),m=1..N);

> factor(simplify(value(%)));

> subs(N=100,%);

Вычисление произведений членов последовательности:

> restart:

> Product(k^2,k=1..5)=product(k^2,k=1..5);

> Product(k^2,k)=product(k^2,k);

> product(a[k],k=1..6);

> f:=[1,2,3,4,5]; product(f[k],k=1..5);

> product(n+k,k=1..4);

> Product(2/i,i=1..infinity)=product(2/i,i=1..infinity);

Общая схема исследования сходимости числовых рядов.

Знакопостоянные ряды:

> restart:with(linalg):

> U:=(n)->(1/(ln(n)^2))*cos(Pi*n^2/(n+1));

> S:=Sum(U(n),n=2..infinity);

Проверка необходимого условия сходимости:

 

> Limit(U(n),n=infinity)=limit(U(n),n=infinity);

Для определения сходимости используем признак Даламбера:

 

> if limit(U(n+1)/U(n),n=infinity)<1 then print(R-сходится) else print (R- расходится) fi;

R-расходится

Знакопеременные ряды:

> restart:

> V:=(n)-> (-1)^n*sin(n)^2/n;

> S:=Sum(V(n),n=2..infinity);

Проверка необходимого условия сходимости:

> Limit(V(n),n=infinity)=limit(V(n),n=infinity);

Построение графика частичных сумм ряда:

> H:=(k)->sum((-1)^n*sin(n)^2/n,n=1..k);

> plot(H(k),k=1..400);

Построение графика частичных сумм ряда из модулей:

> G:=(k)->abs(H(k));

> plot(G(k),k=1..400);

 

Нахождение суммы ряда:

 

> Sum((-1)^n*sin(n)^2/n,n=1..1000)=evalf(sum((-1)^n*sin(n)^2/n,n=1..1000));

Функциональные ряды:

 

> restart:with(plots):

> U:=(x,n)->x^n/(1+x^(2*n));

> U(x,n+1)/U(x,n);simplify(%);

> Sum(U(x,n),n=1..infinity);

> assume(n>0); solve({abs(U(x,n+1)/U(x,n))<1.01},{x,n});

> f:=(x,n)->abs(U(x,n+1)/U(x,n));

> plot3d(f(x,n),x=-1..1,n=1..100,color=blue,thickness=2,axes=frame);

 

> x:=3; Sum(U(x,n),n=1..infinity)=evalf(sum(U(x,n),n=1..infinity));

>

Степенные ряды :

 

> restart:

> a:=(n)->(n^n)/(n!);

> Sum(a(n)*x^n,n=1..infinity);

> R:=limit(a(n)/a(n+1),n=infinity); evalf(%); # область сходимости -e^(-1) < x < e^(-1);

Разложение функций в ряд Тейлора:

Функция от одного переменного:

 

> restart: with(plots):with(linalg):

> # Разложение в ряд Тейлора до члена с x^4 функции f(x);

> f:=(1+x+x^2)/(1-x+x^2);

> taylor(f,x=0);

> # Разложение в окрестности x=0 до порядка остатка = 5(необязательный параметр);

> taylor(f,x=0,5);f1:=convert(%,polynom);f1;

> f1:=convert(%,polynom);# f1- основная часть ряда;

> # Сравним насколько отличается исходная функция от ее приближения рядом Тейлора;

> plot([f,f1],x=-1..1.2,color=[BLUE,PINK],linestyle=[SOLID,DASHDOT],title="Функция и ее ряд Тейлора",titlefont=[HELVETICA,BOLD,10],legend=["функция","ряд Тейлора"],thickness=3);

 

Функция от двух переменных:

 

> restart:

> mtaylor(f(x,y),[x,y],3):

> mtaylor(sin(x^2+y^2),[x,y]);

> mtaylor(sin(x^2+y^2),[x,y],8);

> mtaylor(sin(x^2+y^2),[x,y],8,[2,1]);

> mtaylor(sin(x^2+y^2),[x=1,y],3);

Ассимптотическое разложение функций:

 

> restart:with(linalg): with(plots):



©2015- 2018 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.