Классификации картографических проекций

Картографические проекции можно классифицировать по различным признакам, главными из которых являются: вид нормальной сетки, характер (вид) искажений, положение полюса сферической системы координат.

На основании первого признака все КП подразделяются на цилиндрические, коническиеи азимутальные проекции. Формулы цилиндрических проекций могут быть проиллюстрированы геометрически в виде цилиндра, описывающего эллипсоид и касающегося его поверхности по линии экватора или по линиям двух параллелей. Цилиндрические проекции образуют картографическую сетку прямоугольной формы (рис. 2а).

Конические проекции иллюстрируются конусом, касающимся поверхности эллипсоида по линиям одной или двух параллелей; образуют сетку, меридианы которой – прямые линии, сходящиеся к точке плюса, а параллели – дуги концентрических окружностей с центром в точке полюса (рис. 2б).

Азимутальные проекции иллюстрируются плоскостью, которая касается эллипсоида в точке полюса, и образуют сетку, параллели которой - концентрические окружности, а меридианы – прямые, пересекающиеся в точке полюса (рис. 2в).

а) б) в)

Рис.2

На основании второго признака различают равноугольные, равновеликие и равнопромежуточные проекции. Равноугольные проекции не искажают углы, но существенно искажают площади; главным условием получения этих проекций является равенство частных масштабов по всем направлениям, в том числе по параллелям и меридианам, .

Равновеликие проекции не искажают площади, но существенно искажают углы. Главное условие этих проекций p=1 во всех точках карты.

Равнопромежуточные проекции являются самым распространенным вариантом класса произвольных проекций; в них присутствуют все виды искажений, но их значения небольшие; главное условие этих проекций – m=1.

Картографическая проекция, которая непосредственно отображает сетку географической системы координат, и образуемая ею картографическая сетка называются нормальными; в нормальных проекциях полюсы географической и сферической систем совпадают ( )Картографическая проекция, в которой используется полярная сферическая система координат с полюсом, расположенным относительно географической системы координат на ее экваторе ( ), называется поперечной.Картографическая проекция, в которой используется система с полюсом, расположенным между географическим полюсом и экватором ( ), называется косой. Пример полярной сферической системы, используемой в косых проекциях, изображен на рисунке 3.

Рис.3

Формулы частного масштаба длин, масштаба площадей, искажения углов

1.а) б)

Рис.4

Из бесконечно малого сфероидического треугольника АА₁А₂ на рисунке 4а бесконечно малый отрезок ; из соответствующего ему плоского треугольника на карте . Из треугольников на рисунках 4а и 4б , , где r – радиус параллели, а М – радиус кривизны меридиана. Подставив в общую формулу частного масштаба длин полученные выражения, имеем .

После дифференцирования и замен получим развернутую формулу частного масштаба длин:

(1),

где e, f, g, – коэффициенты Гаусса, М – радиус кривизны меридиана, r- радиус параллели, a – азимут. Если a=0^о(180^о), то из данного выражения получается формула частного масштаба по меридиану , а если a=90^о(270^о), то получится формула масштаба по параллели . Для шара .

2. а) б)

Рис. 5

Из рисунков 5а и 5б площадь бесконечно малой трапеции на эллипсоиде , аплощадь соответствующей трапеции на карте . Подставив эти выражения в общую формулу масштаба площадей , получим . Зная, что отношения в скобках есть частные масштабы m и n, окончательная формула масштаба площадей получит вид: (2).

Для проекций с ортогональной сеткой .

3. а) б)

Рис.6

Из бесконечно малых построенных относительно отрезков dS и dS’ прямоугольных треугольников на эллипсоиде и на карте (Рис.6):

, ; , .

После преобразования и подстановки получим: , .

Поскольку , то после замены dS’_n и dS’_m .Если правую и левую части выражения прибавить к tga и отнять от tga, тогда . Из школьной программы известно, что . После подстановки правого выражения в последнюю формулу имеем: , . Разделив первую формулу на вторую, получим . В этой формуле , при и поскольку , тогда .