Тема: вращение твердого тела вокруг неподвижной точки

¾случай регулярной прецессии

Конус 1 с углом 2a при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2b при вершине в направлении, указанном стрелкой. Высота конуса OC = h. вращательное ускорение центра С основания конуса.

Определить: 1. Угол нутации q, угловую скорость нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость .

2. Угловое ускорение конуса .

3. Скорости точек А и В¾ , .

4. Ускорения точек А, В, С¾ , , (найти осе стремительное ¾ и вращательное ¾ ускорения точки С).

Решение:Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1 совпадает с образующей ОА.

1. Угол нутации:

2. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, ¾ окружность, плоскость которой перпендикулярна оси ОY ¾ оси прецессии и центр которой лежит на этой оси.

Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку

,

где ¾ кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси

м, то

1/с = const.

Учитывая заданное направление вектора , , отложим от точки О вдоль мгновенной оси = ОА вектор так, чтобы видеть с его конца вращение конуса вокруг этой оси ¾ в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки.

С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

,

где ¾ кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY равно

м.

3.Отсюда находим модуль угловой скорости прецессии :

[ 1/с]

Направление вектора определяется в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случае ¾ против часовой стрелки, поэтому ¯­OY ¾ оси прецессии.

Рис.4.4

4.Векторное равенство , где линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величину угловой скорости ротации, а именно: ( ); линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действия вектора ­­ OY является ось прецессии OY, линией действия вектора является ось ротации Oy. Таким образом, модуль угловой скорости ротации равен

1/с = const.

5. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор ­­ OZ, так какс конца оси OZ поворот вектора к вектору кажется против хода часовой стрелки; модуль углового ускорения определяется как

1/с² .

6. Скорости точек конуса 1:

Скорость точки А , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1.

Скорость точки В

, где м,

м/с и вектор .

7. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.

Для точки А конуса 1

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону .

Таким образом, м/с².

Для точки В конуса1

Вектор направлен от точки B к мгновенной оси вращения конуса 1.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB против .

Вектор направлен от точки B к мгновенной оси вращения конуса 1.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону .

Полное ускорение точки B найдем через его проекции на оси дополнительной системы координат Bx₁y₁ , лежащей в плоскости (BOA), как :

м/с².

Для точки С конуса1

а)

Направление вектора указано в условии (лежит в плоскости (ВОА), перпендикулярен ОС, направлен в сторону ).

Вектор направлен из точки С к оси .

Значение результирующего вектора получим при помощи теоремы косинусов:

Ответ:

1. Угол нутации q=p/2; угловая скорость нутации =0;

прецессии = 1/с; ротации рад/с; мгновенная угловая скорость = рад/с

2. Угловое ускорение конуса рад/с²

3. Скорости точек А и В¾ = 0; =4[м/с].

4. Ускорения точек А, В, С¾ = 11,56 [м/с² ];

= 35,44 [м/с² ];

= 15,33 [м/с² ].

5. Осестремительное ускорение точки С¾ = 11,6 м/с² .

6. Вращательное ускорение точки С ¾ = 5,78 м/с² .

Г л а в а 5

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 2 - ТЕМА:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: