Виртуальная работа силы. Идеальные связи

Виртуальной работой силы называется работа силы на любом виртуальном перемещении точки ее приложения:

¾ 1*)dА( ) = . (2.17)

Для вычисления виртуальной работы можно применять известные формулы для элементарной работы силы, подставляя вместо элементарного возможного виртуальное перемещение точки.

При использовании декартовых координат

¾ 1**)dА( ) =F_x dx + F_y dy + F_z dz. (2.18)

Например, виртуальная работа горизонтальной силы , приложенной к стержню АВ (рис.2.7) в точке С, равна dА( ) = F_x d x_с . Так как

F_x = - F, x_с = BC cosj и dx_с= - BC sinj ×dj, то

dА( ) = F BC sinj ×dj .

Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси l =Oz приложена сила , момент которой относительно этой оси равен М_l=Oz, то

¾ 2*) dА( ) =М_l=Oz dj , (2.19)

где dj ¾ виртуальный угол поворота тела вокруг оси l =Oz .

¾ 3*)dА( ) = F_t ds, (2.20)

. где F_t - проекция силы на направление касательной, ds – вариация траекторной координаты точки приложения силы при траекторном способе задания ее движения.

¾4*)dА ( ) = F_v dS, (2.21)

, где F_v - проекция силы на направление скорости точки приложения силы, dS – вариация перемещения точки приложения силы.

Виртуальная работа потенциальных сил изохронной вариации силового потенциала dА = dU или со знаком минус вариации потенциальной энергии системы dА = - dП.

Установив понятие виртуальной работы силы , можно расширить классификацию связей, разделяя их на идеальные и неидеальные.

Связи называются идеальными , если равна нулю сумма виртуальных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы ( из занимаемого в данный момент времени положения).

Для идеальных связей (2.22)

или

Полагая связи идеальными, можно решить задачу динамики несвободной системы. Эта задача состоит в том, что для данной системы с заданными активными силами и начальными условиями нужно найти уравнения движения и реакции связей.

Например, если материальная точка движется по гладкой поверхности, уравнение которой f (x, y, z) = 0 , то нормальная реакция

f , где l ¾ неопределенный множитель Лагранжа [ ].

Уравнения связи совместно с дифференциальными уравнениями движения точки образуют замкнутую систему уравнений. Эта система уравнений позволяет определить как уравнения движения точки, так и множитель Лагранжа, а значит, и нормальную реакцию связи

(2.23)

Примеры идеальных связей

1. Гладкая поверхность (плоскость)для материальной точки. В этом случае dА ( )= × = | | × | |cos ( , ) = 0 ,

так как вектор расположен вдоль нормали к поверхности и, следовательно ортогонален вектору виртуального перемещения точки.

2. Нерастяжимая нить. Реакция нити ¾ сила ее натяжения ¾ ортогональна виртуальному перемещению точки ее приложения. Поэтому × = 0.

3. Цилиндрические и сферические шарниры, если поверхности соприкасающихся тел считаются идеально гладкими. Если твердое тело при помощи шарнира прикреплено к неподвижной опоре (рис.2.8), то реакция приложена к неподвижной

Рис.2,8точке. Поэтому виртуальное перемещение такой точки равно нулю и dА ( )= × = 0 и др.

4. Твердая шероховатая поверхность для цилиндрического катка при качении без скольжения. Контакт катка с поверхностью происходит по линии. Поэтому реакцией связи является система сил, распределенных вдоль линии контакта. Виртуальная работа сил реакции равна нулю так как они приложены к неподвижным в каждый момент времени точкам ¾ С_МЦС сечений катка (рис.2.1).

Обобщенные силы

В аналитической механике наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело со стороны других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе. Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы.

(2.24)

Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих h связях имеет s =3n-h степеней свободы, то положение этой системы определяется ( i = s )

обобщенными координатами и (2.11): Согласно (2.13), (2.14) виртуальное перемещение k – й точки

(2.13)

(2.14)

Подставляя (2.14): в формулу для виртуальной работы сил

(2.24), получаем

(2.25)

Скалярную величину = (2.26)

называют обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате.

Обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате, называется величина, равная множителю при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.

Виртуальная работа определяется от

¾ задаваемых активных сил, независящих от ограничений и

¾ реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость T_j от N_j, (T_j ¾это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).

В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, что обобщенная сила ¾ скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.

Пример 2.10. Для диска радиусом r и массой m , который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис.2.9), за обобщенную координату можно принять:

¾ либо q = s ¾ перемещение центра масс диска,

¾либо q = j ¾ угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то :

¾в первом случае обобщенной силой будет

Рис. 2.9 Q_s = mg sina, а

¾во втором случае ¾ Q_j = mg r cosa.

Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из выражения (2.25)

(2.27)

следует, что единица измерения обобщенной силы равна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты.

Если в качестве обобщенной координаты q принять q = s ¾ перемещение какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы Q_s ¾ будет[ньютон],

Если же в качестве q = j ¾ будет принят угол поворота (в радианах) тела, то единицей измерения обобщенной силы Q_j ¾ будет [ньютон ´ метр].

 

 

Предыдущая123456789101112131415Следующая

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.