ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Основной задачей физического практикума является привитие у студентов навыков экспериментальной работы. Любой физический эксперимент в той или иной форме связан с измерением, а результаты измерения представляются чаще всего набором некоторых чисел – числовых значений физический величин. Это те самые числовые значения, которые входят в математические формулы, устанавливающие связи между физическими величинами в законах природы.

Измерить физическую величину - это значит сравнить её с однородной величиной, принятой за единицу измерения. Полученная при этом величина, показывающая во сколько раз измеряемая величина больше или меньше выбранной единицы, называется результатом измерения. Принято различать измерения:

1. прямые, когда физическая величина измеряется с помощью специальных приборов (термометров, секундомеров, амперметров) или непосредственно путём сравнения с единицей измерения (измерения линейных и угловых размеров, массы тел и т. д.);

2. косвенные, при которых получают не искомую величину, а величины, функционально связанные с ней математическими формулами, из которых и определяют искомую величину. Так, например, величину ускорения свободного падения тел можно определить по формуле периода колебания математического маятника, измерив длину нити и массу тела.

Почему при измерениях возникает необходимость обработки результатов измерений? Потому, что произвести измерения абсолютно точно невозможно, т. к. всякое измерение сопровождается погрешностью, вызванной принципиальной невозможностью (в силу всеобщей связи явлений в природе) устранить все посторонние влияния на процесс измерения (хотя любое из влияний можно сделать сколь угодно малым).

Если измерительный инструмент обладает достаточной чувствительностью, результаты нескольких прямых измерений некоторой физической величины x в большинстве случаев могут быть различны между собой. Обозначим результаты каждого измерения x₁, x₂, …, x_n , а истинное значение измеряемой величины – x₀ , где разности x_i - x₀ = являются погрешностями измерений. Таким образом, определить истинное значение измеряемой величины невозможно даже в результате большого числа измерений. Поэтому задача измерений заключается не в определении истинного значения измеряемой величины, а в установлении интервала, внутри которого находится истинное значение этой величины. Следовательно, результат измерения какой – либо физической величины заключается в определении наиболее вероятного значения этой величины и в определении погрешности измерения.

По характеру происхождения погрешности измерений можно разделить на три вида: промахи, систематические и случайные.

1. Промахи, или грубые погрешности, являются результатом сбоя в работе измерительного прибора или низкой квалификации экспериментатора, проводившего измерения. Они должны быть исключены из протокола измерений.

2. Систематические погрешности являются следствием несовершенства измерительных приборов, а также недостатков методики измерения. Обычно при многократных измерениях физической величины систематическая погрешность имеет одно и то же значение, т.е. систематически повторяется от опыта к опыту. Устраняются систематические погрешности путём проверки приборов, разработки более корректной методики эксперимента и сравнения различных методов измерения одной и той же величины.

3. Случайные погрешности являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть непосредственно (механические вибрации, электромагнитные поля, колебания воздуха, изменения давления, температуры, влажности). Эти помехи отличаются степенью воздействия на измеряемую величину и могут частично компенсироваться. Их влияние на результат измерения учитывается законом нормального распределения - законом Гаусса, открытого им на основе теории вероятностей и математической статистики. Этот закон устанавливает связь между возможными значениями случайной погрешности и вероятностью появления этих значений.

5.1.МЕТОДИКА РАСЧЁТА СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ (ЗАКОН ГАУССА)

Допустим, мы хотим измерить прямым измерением некоторую физическую величину, истинное (и нам неизвестное) значение которой есть х₀ . Используя какой-нибудь измерительный прибор, мы пытаемся определить эту величину, но из-за случайных погрешностей, возникающих в процессе измерения, вместо х₀ получаем набор значений х₁, х₂, …, х_i,…, х_n. Оказывается, что с помощью закона распределения Гаусса мы хотя и не можем указать точно, чему равно х₀, но можем найти, с какой вероятностью a величина х₀ окажется в любом интервале значений a < x_o < b. Этот интервал называется доверительным. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения

(1)

и равна

a (a < x₀ < b) = . (2)

В этих выражениях символом х обозначен набор значений, которые мы получаем в результате измерения, - их среднее арифметическое значение, а s - среднее квадратическое отклонение:

(3)

. (4)

Как видно из рис. 1, гауссова кривая, имеющая на графике симметричный колоколообразный вид, характеризуется двумя параметрами: положением

вершины - и «шириной» 2s - расстоянием между точками перегиба. Значение обычно и принимают за ту величину, которую надо было измерить, а s характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерений: чем меньше s, тем уже гауссова кривая и тем, следовательно, точнее проведено измерение.

Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению параметров гауссовой кривой и s. Может показаться, что если произвести большое число измерений, то эти параметры можно определить со сколь угодно большой точностью и, стало быть, можно в пределах одной методики измерения (даже грубой) получить сколь угодно близкое к истинному численное значение измеряемой величины. Однако это не так. Следует ещё раз отметить, что - это не истинное значение измеряемой величины, а лишь некоторое приближение к нему. Чем более широким выбирается доверительный интервал, те выше вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в этот интервал. Мера s приближения измеренного значения величины к истинному х₀ определяется методом измерения и не зависят от экспериментатора. Следовательно, бесконечное увеличение числа измерений не даёт заметного увеличения точности.

Поэтому возникает вопрос: как изменяется достоверность результата измерения в зависимости от числа измерений? Зависимость эта не выражается в элементарных функциях, поэтому разработаны специальные таблицы (таблицы коэффициентов Стьюдента), по которым можно определить, во сколько раз нужно увеличить стандартный доверительный интервал, чтобы при определённом числе измерений n получить требуемую надёжность a. В теории Гаусса за стандартный принимается доверительный интервал , где

. (5)

Таким образом, порядок расчёта случайной погрешности прямых измерений физической величины х должен быть следующим:

1. Выполнить n (3-10) прямых измерений некоторой физической величины при неизменных условиях опыта и записать их результаты в таблицу.

2. По формуле (3) вычислить её среднее значение.

3. По формуле (5) вычислить стандартный доверительный интервал.

4. Из таблицы коэффициентов Стьюдента (Табл.1) по заданной надёжности a (для учебных лабораторий обычно принимают a = 0,95) и числу проведённых измерений n выбрать по таблице коэффициент Стьюдента t (a, n).

5. Окончательный результат прямого измерения величины х представить в виде:

= ,

где dх - абсолютная погрешность.

Таблица1. Коэффициенты Стьюдента t(a,n)

5.2 МЕТОДИКА РАСЧЁТА ПОГРЕШНОСТЕЙ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В тех случаях, когда физическая величина не может быть измерена непосредственно, проводят косвенные измерения, при которых числовое значение измеряемой величины j (x,y,z) связывается с величинами, найденными из прямых измерений. Максимальная погрешность косвенного измерения находится через погрешности прямых измерений по правилу дифференцирования:

На практике при вычислении погрешностей косвенных измерений удобнее сразу вычислять относительную погрешность измерения, равную отношению абсолютной погрешности, к истинному значению измеряемой величины ×100%.

Относительная погрешность является универсальной мерой точности измерений различных физических величин. Формулу для расчёта относительной погрешности косвенного измерения можно получит следующим образом:

1. найти натуральный логарифм выражения, определяющего косвенное измерение, т.е. ln j(x,y,z);

2. найти полный дифференциал прологарифмированного выражения;

3. заменить знаки дифференциалов знаками абсолютных погрешностей d и знаки «минус», встречающиеся перед погрешностями, на знаки «плюс».

Пример:

Абсолютная погрешность

В таблице 2. приведена сводка формул для вычисления погрешностей для некоторых частных случаев. Таблица 2

Математическая операция	П о г р е ш н о с т ь
абсолютная	относительная

5.3 ОЦЕНКА ПРИБОРНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Когда в результате повторных измерений одной и той же физической величины получается ряд одинаковых значений, в качестве абсолютной погрешности выбирается приборная (инструментальная) погрешность. Абсолютную погрешность в этих случаях обычно принимают равной половине цены наименьшего деления шкалы измерительного прибора. Например: а) в работе 1.1 «Движение с постоянным ускорением» цена наименьшего деления по осям координат составляет 5м (Рис.2),

Рис.2 Рис.3 Рис.4

поэтому абсолютная погрешность измерения координаты тела равна 2,5м; б) в работе 2.2 « Распределение Максвелла» цена наименьшего деления шкалы термометра равна 20 К, (рис.3), поэтому абсолютная погрешность измерения температуры эти термометром будет равна 10 К; в)

5.4 ПОГРЕШНОСТИ ТАБЛИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ.

При выполнении расчётной части лабораторных работ, наряду с непосредственно измеренными величинами, часто приходится использовать физические и математические постоянные (число p, ускорение свободного падения g, постоянную Планка h), также численные параметры экспериментальных установок, указанные в окнах компьютерных моделей. От точности этих величин во многом зависит точность конечного результата.

Табличные значения физических и математических величин обычно имеют точность выше точности величин, измеряемых при выполнении лабораторных работ. Их влияние на точность конечного результата в основном определяется корректностью округления. Поэтому при использовании табличных величин их следует округлять так, что их точность превышала точность измеряемых величин на одну значащую цифру. В этом случае погрешностью табличных величин можно пренебречь.

Если табличные значения или параметры установки заданы округлённо или с недостаточно высокой степенью точности, то обычно их погрешность принимают равной половине единицы последнего указанного разряда. Например, в работе 5.1 «Внешний фотоэффект» длина волны падающего излучения задаётся с точностью до 1нм (рис.4), следовательно, абсолютная погрешность в измерении длины волны составит 0,5 нм.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: