Импульс поля движущегося заряда

Возьмем равномерно движущийся электрон и предположим на минуту, что скорость его мала по сравнению со скоростью света. С таким движущимся электроном всегда связан какой-то импульс — даже если у электрона до того, как он был заряжен, не было никакой массы — это импульс электромагнитного поля. Мы покажем, что для малых скоростей он пропорционален скорости v и совпадает с ней по направлению. В точке Р, нахо­дящейся на расстоянии rот центра заряда и под углом 6 к ли­нии его движения (фиг. 28.1), электрическое поле радиально, а магнитное, как мы видели, равно vXE/c². Плотность же им­пульса, в соответствии с формулой (27.21), будет

Она обязательно направлена по линии движения, как это видно из рисунка, и по величине равна

Поле симметрично относительно линии движения заряда, по­этому поперечные компоненты дадут в сумме нуль, и полученный в результате импульс будет параллелен скорости v.

Фиг. 28.1. Поля Е и В и плотность импульса g для положительного электрона.

Для отрицательного электрона поля Е и В повернуты в обратную сторону, но g остается тем же.

Фиг. 28.2. Элемент объема 2pr²sinqdqdr, используе­мый при вычислении импульса поля.

Величину составляющей вектора g в этом направлении, равную gsinq, нужно проинтегрировать по всему пространству. В качестве элемента объема возьмем кольцо, плоскость которого перпен­дикулярна v (фиг. 23.2). Объем его равен 2pr²sinqdqdr. Пол­ный импульс будет при этом

Поскольку Е не зависит от угла q (для v<<c), то по углу можно немедленно проинтегрировать:

Интегрирование по q ведется в пределах от 0 до p, так что этот интеграл дает просто множитель ⁴/₃, т. е.

А такой интеграл (для v<<с) мы только что вычисляли, чтобы найти энергию; он равен q²/16p²e₀²a, так что

или

(28.3)

Импульс поля, т. е. электромагнитный импульс, оказался пропорциональным v. В частности, тоже самое выражение полу­чилось бы для частицы с массой, равной коэффициенту пропор­циональности при v. Вот почему этот коэффициент пропорциональности мы можем назвать электромагнитной массой m_эм, т. е. положить

Электромагнитная масса

Откуда же вообще возникло понятие массы? В наших зако­нах механики мы предполагали, что любому предмету присуще некое свойство, называемое массой. Оно означает пропорцио­нальность импульса предмета его скорости. Теперь же мы обнаружили, что это свойство вполне понятно — заряженная частица несет импульс, который пропорционален ее скорости. Дело можно представить так, как будто масса — это просто электродинамический эффект. Ведь до сих пор причина возник­новения массы оставалась нераскрытой. И вот, наконец, в элект­родинамике нам представилась прекрасная возможность понять то, чего мы никогда не понимали раньше. Прямо как с неба (а точнее, от Максвелла и Пойнтинга) свалилось на нас объяс­нение пропорциональности импульса любой заряженной ча­стицы ее скорости через электромагнитные свойства.

Но давайте все-таки встанем на более консервативную точку зрения и будем говорить, по крайней мере временно, что имеется два сорта масс и что полный импульс предмета должен быть суммой механического и электромагнитного импульсов. Причем механический импульс равен произведению «механической» массы m_мех на скорость v. В тех экспериментах, где масса частицы измеряется, например, определением импульса или «кручением на веревочке», мы находим ее полную массу. Им­пульс равен произведению именно полной массы (m_мех+m_эм) на скорость. Таким образом, наблюдаемая масса может состоять из двух (а может быть, и из большего числа, если мы учтем другие поля) частей: механической и электромагнитной. Мы знаем, что наверняка имеется электромагнитная часть; для нее у нас есть даже формула. А сейчас появилась увлекательная возможность выбросить механическую массу совсем и считать массу полностью электромагнитной.

Посмотрим, каков должен быть размер электрона, если «механическая» часть массы полностью отсутствует. Это можно выяснить, приравнивая электромагнитную массу (28.4) наблю­даемой массе электрона, т. е. m_е. Получаем

(28.5)

Величина

(28.6)

называется «классическим радиусом электрона» и равна она 2,82X10⁼¹³ см,

т. е. одной стотысячной диаметра атома.

Почему радиусом электрона названа величина r₀, а не а? Потому что мы можем провести те же самые расчеты с другим распределением заряда. Мы можем взять его равномерно размазанным по всему объему шара или наподобие пушистого шарика. Например, для заряда, равномерно распределенного по всему объему сферы, коэффициент ²/₃ заменяется коэффициентом ⁴/₅. Вместо того чтобы спорить, какое распределение правильно, а какое нет, было решено взять в качестве «номинального» ра­диуса величину r₀. А разные теории приписывают к ней свой коэффициент.

Давайте продолжим наше обсуждение электромагнитной теории массы. Мы провели расчет для v<<с, а что произойдет при переходе к большим скоростям? Первые попытки вычисления привели к какой-то путанице, но позднее Лоренц понял, что при больших скоростях заряженная сфера должна сжиматься в эллипсоид, а поля должны изменяться согласно полученным нами для релятивистского случая в гл. 26 формулам (26.6) и (26.7). Если вы проделаете все вычисления для р в этом слу­чае, то получите, что для произвольной скорости v импульс умножается еще на 1/Ö(1-v²/c²), т. е.

(28.7)

Другими словами, электромагнитная масса возрастает с увеличением скорости обратно пропорционально Ö(1-v²/c²). Это открытие было сделано еще до создания теории относительности.

Тогда предлагались даже эксперименты по определению зависимости наблюдаемой массы от скорости, чтобы установить, какая часть ее электрическая по своему происхождению, а какая — механическая. В те времена считали, что электромаг­нитная часть массы должна зависеть от скорости, а ее механи­ческая часть — нет.

Но пока ставились эксперименты, теоретики тоже не дремали. И вскоре была развита теория относительности, которая дока­зала, что любая масса, независимо от своего происхождения, должна изменяться как m₀/Ö(1-v²/c²). Таким образом, уравнение (28.7) было началом теории, согласно которой масса зависит от скорости.

А теперь вернемся к нашим вычислениям энергии поля, которые привели к выводу выражения (28.2). Энергия U в соот­ветствии с теорией относительности эквивалентна массе U/с², поэтому (28.2) говорит, что поле электрона должно обладать массой

(28.8)

которая не совпадает с электромагнитной массой m_эм, опреде­ленной формулой (28.4). В самом деле, если бы мы просто скомбинировали выражения (28.2) и (28.4), то должны были бы написать

Эта формула была получена еще до теории относительности, и когда Эйнштейн и другие физики начали понимать, что U всегда должно быть равно mc², то замешательство было очень велико.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: