Ускорение частицы в индуцированном электрическом поле; бетатрон

Мы уже говорили, что э. д. с., созданная изменяющимся магнитным полем, может существовать даже в отсутствие проводников; т. е. магнитная индукция возможна без проводов. Мы можем представить себе э. д. с. вдоль произвольной мате­матической кривой в пространстве. Она определяется как тангенциальная компонента Е, проинтегрированная вдоль кривой. Закон Фарадея гласит, что этот контурный интеграл равен скорости изменения магнитного потока через замкнутую кривую [соотношение (17.3)].

В качестве примера действия такого индуцированного электрического поля мы сейчас рассмотрим движение электрона в из­меняющемся магнитном поле. Представим себе магнитное поле, которое всюду на плоскости направлено по вертикали (фиг. 17.4). Магнитное поле создается электромагнитом, но детали нас здесь интересовать не будут. В нашем примере мы предположим, что магнитное поле симметрично относительно некой оси, т. е. напряженность магнитного поля зависит только от расстояния до оси.

Фиг. 17.4. Электрон ускоряется в аксиально-симметричном магнитном поле, зависящем от времени.

Магнитное поле меняется также со време­нем. Представим теперь, что электрон в этом поле движется по круговой траектории постоянного радиуса с центром на оси поля. (Позже мы увидим, как можно создать такое движение.) Меняющееся магнитное поле создает электрическое поле Е, касательное к орбите электрона, которое будет двигать его по окружности. Вследствие симметрии это электрическое поле всюду на окружности принимает одну и ту же величину. Если орбита электрона имеет радиус r, то контурный интеграл от Е по орбите равен скорости изменения магнитного потока через окружность. Контурный интеграл от Е равен просто величине Е, умноженной на длину окружности 2pr. Магнитный поток, вообще говоря, дается интегралом. Обозначим через B_ср — среднее магнитное поле внутри окружности; тогда поток равен этому среднему магнитному полю, умноженному на площадь круга.
Мы получим (отвлекаясь от знака)

Поскольку мы предположили, что r—величина постоянная, то Е пропорционально производной по времени от среднего поля:

(17.4)

Электрон будет чувствовать электрическую силу qE и будет ею ускоряться. Помня, что на основании точного релятивистского уравнения движения скорость изменения импульса пропорцио­нальна силе, имеем

(17.5)

Для принятой нами круговой орбиты электрическая сила, действующая на электрон, всегда направлена по движению, поэтому полный импульс будет расти со скоростью, даваемой равенством (17.5). Комбинируя (17.5) и (17.4), можно связать скорость изменения импульса с изменением среднего магнитного поля:

(17.6)

Интегрируя по t, получаем следующее выражение для им­пульса электрона:

(17.7)

где р₀ — импульс, с которым электрон начинает двигаться, a DB_cp — последующее изменение B_ср. Работа бетатрона — машины, ускоряющей электроны до больших энергий, основана именно на этой идее.

Чтобы понять, как работает бетатрон, необходимо представ­лять себе принцип движения электрона по окружности. В гл. 11 (вып. 1) мы уже обсуждали этот принцип. Если на орбите элект­рона создать магнитное поле В, возникнет поперечная сила qvXB, которая при соответствующем выборе В может заставить электрон двигаться по предположенной орбите. В бетатроне эта поперечная сила вызывает движение электрона по круговой орбите постоянного радиуса. Мы можем определить, каким должно быть магнитное поле на орбите, опять с помощью ре­лятивистского уравнения движения, но на этот раз для попереч­ной компоненты силы. В бетатроне (см. фиг. 17.4) поле В пер­пендикулярно v, поэтому поперечная сила равна qvB. Таким образом, сила равна скорости изменения поперечной компо­ненты импульса p_t:

(17.8)

Когда частица движется по окружности, Скорость изменения поперечного импульса равна величине полного импульса, умноженной на w — угловую скорость вращения (согласно аргу­ментам, приведенным в гл. 11, вып. 1):

(17.9)

где, поскольку движение круговое,

(17.10)

Полагая магнитную силу равной поперечному ускорению, имеем

(17.11)

где В_орб — поле при радиусе, равном r.

В приведенном в действие бетатроне импульс электрона, согласно выражению (17.7), растет пропорционально B_ср, и чтобы электрон продолжал двигаться по собственной окруж­ности, равенство (17.11) должно по-прежнему выполняться вместе с ростом импульса электрона. Величина B_opб должна расти пропорционально импульсу р. Сравнивая (17.11) с (17.7), определяющим р, мы видим, что должно выполняться следую­щее соотношение между В_ср — средним
магнитным полем внутри орбиты радиуса rи магнитным полем В_ор6 на орбите:

(17.12)

Для правильной работы бетатрона нужно, чтобы среднее магнитное поле внутри орбиты росло в два раза быстрее магнитного поля на самой орбите. При этих условиях с ростом энергии частицы, увеличивающейся за счет индуцированного электри­ческого поля, магнитное поле на орбите растет как раз со ско­ростью, нужной для удержания частицы на окружности.

Бетатрон используется для разгона электронов до энергий в десятки или даже в сотни миллионов электронвольт. Однако по ряду причин для ускорения электронов до энергий, много больших нескольких сот миллионов электронвольт, эта машина становится невыгодной. Одна из этих причин — трудность достижения на практике требуемой высокой величины среднего магнитного поля внутри орбиты, а вторая — несправедливость формулы (17.6) для очень больших энергий, так как в ней не учитывается потеря энергии частицей за счет излучения электро­магнитной энергии (так называемое синхротронное излучение, см. гл. 34, вып. 3). По этим причинам ускорение электронов до самых больших энергий — до многих миллиардов электрон-вольт — совершается посредством машины другого рода, назы­ваемой синхротроном.

Парадокс

Теперь мы хотели бы предложить вам некий кажущийся парадокс. Парадокс возникает тогда, когда при одном способе рассуждений получается один ответ, а при другом способе — совсем другой, так что мы остаемся в неведении, что же собст­венно должно быть на самом деле. Разумеется, в физике никогда не бывает настоящих парадоксов, потому что существует только один правильный ответ; по крайней мере мы верим, что природа поступает только единственным способом (и именно этот спо­соб, конечно, правильный). Поэтому в физике парадокс — всего лишь путаница в нашем собственном понимании. Итак, вот наш : парадокс.

Представим, что мы конструируем прибор (фиг. 17.5), в котором имеется тонкий круглый пластмассовый диск, ук­репленный концентрически на оси с хорошими подшипниками, так что он совершенно свободно вращается. На диске имеется катушка из проволоки — короткий соленоид, концентричный по отношению к оси вращения. Через этот соленоид проходит постоянный ток / от маленькой батареи, также укрепленной на диске. Вблизи края диска по окружности на равном расстоянии размещены маленькие металлические шарики, изолированные друг от друга и от соленоида пластмассовым материалом диска. Каждый из этих проводящих шариков заряжен одинаковым зарядом Q. Вся картина стационарна, и диск неподвижен. Предположим, что случайно, а может и намеренно, ток в соленоиде прекратился, но, разумеется, без какого-либо вмешательства извне. Пока через соленоид шел ток, более или менее параллельно оси диска проходил магнитный поток.

Фиг. 17.5. Повернется ли диск, если ток I прекратится?

После того как ток прервался, поток этот должен уменьшиться до нуля. Поэтому должно возникать индуцированное электрическое поле, которое будет циркулировать по окружностям с центром на оси диска. Заряженные шарики на периферии диска будут все испытывать действие электрического поля, касательного к внеш­ней окружности диска. Эта электрическая сила направлена для всех зарядов одинаково и, следовательно, вызовет у диска вра­щающий момент. Из этих соображений можно ожидать, что, когда ток в соленоиде исчезнет, диск начнет вращаться. Если нам известны момент инерции диска, ток в соленоиде и заряд шариков, то можно вычислить результирующую угловую

скорость.

Но можно рассуждать и по-другому. Используя закон сох­ранения момента количества движения, мы могли бы сказать, что момент диска со всеми его пристройками вначале равен нулю, поэтому момент всей системы должен оставаться нуле­вым. Никакого вращения при остановке тока быть не должно. Какое из доказательств правильно? Повернется ли диск или нет? Мы предлагаем вам подумать над этим вопросом.

Хотелось бы предостеречь вас, что правильный ответ не за­висит от всяких несущественных факторов, таких, как несим­метричное положение батареи, например. В самом деле, вы можете представить себе, скажем, такой идеальный случай: соленоид сделан из сверхпроводящей проволоки, через которую проходит ток. После того как диск тщательно установлен неподвижным, температуру соленоида медленно начинают повышать. Когда температура проволоки достигнет переход­ного значения между сверхпроводимостью и нормальной прово­димостью, ток в соленоиде обратится в нуль вследствие сопро­тивления проволоки. Поток, как и раньше, упадет до нуля и вокруг оси возникнет электрическое поле. Мы хотели бы также предостеречь вас, что решение не простое, но это и не обман. Когда вы разберетесь в этом, вы обнаружите важный закон электромагнетизма.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: