Сделай Сам Свою Работу на 5

Конечно-разностная аппроксимация для граничных узлов

Рассматриваемый метод позволяет решать задачи для неоднородных сред и со сложной геометрией области. В частности, узлы сетки могут располагаться на границе раздела сред, на краях, в различных углах и т.д. (например, рис. 4.4). Конечно-разностные уравнения для таких узлов отличаются от внутренних.

Узлы на границе раздела сред встречаются при исследовании полосковых и микрополосковых линий передачи, частично заполненных волноводов и т.д. На рис. 4.4а показана граница раздела двух сред с параметрами и . Получим конечно-разностное уравнение для центрального узла с потенциалом . Полагая, что на границе отсутствуют электрические заряды, воспользуемся уравнением (2.2г) в Теме II, применив его к пунктирной ячейке (задача двумерная) на рис. 4.4а, ограниченной контуром C

, (4.24)

– нормаль к контуру C;при этом мы воспользовались формулой (4.2): . Формулу (4.24) можно переписать в виде

. (4.25)

Поток (4.25) вычисляется по четырём участкам. Потоки и соответственно равны

. (4.26)

Аналогично потоки и соответственно равны

. (4.27)

а) б)
в) г)

Рис. 4.4. Конечно-разностная аппроксимация для граничных узлов.

 

Соответственно полный поток (4.25) равен

. (4.28)

Перепишем (4.28) в форме основного разностного уравнения

. (4.29)

Уравнение (4.39) является основным уравнением центрально-разностной аппроксимации при наличии узлов, расположенных на границе раздела сред. При уравнение (4.29) переходит для уравнения Лапласа в (4.22). Заметим, что запись (4.39) очевидным образом следует из (4.22), если брать среднее значение диэлектрических проницаемостей сред для узлов , расположенных на границе раздела.


Задания

Задание 4.4

Вычислить методом конечных разностей и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля u между двумя бесконечными плоскостями при заданных значениях на них. Электрические заряды в пространстве между указанными поверхностями отсутствуют. Сравнить с аналитическим решением.

 

 

a. =0 В, =3 В, шаг дискретизации по оси x = 0.25 м;



б. =0 В, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.2 м;

в. =0 В, =2 В, шаг дискретизации по оси x = 0.5 м;

г. =0 В, =2 В, шаг дискретизации по оси x = 0.25 м;

д. =0 В, =1 В, шаг дискретизации по оси x = 0.25 м;

е. =0 В, =1 В, шаг дискретизации по оси x = 0.2 м;

ж. =0 В, =4 В, шаг дискретизации по оси x = 0.25 м;

 

Решение (стр.204, пример 4.9)

Краевая задача формулируется как одномерная задача Дирихле (4.9), которая дискретизируется в форме ячеек, содержащих конечное число узлов (три в данном случае), так, что уравнение (4.22) может быть записано для любого узла анализируемой области как

. (1)

Поскольку , то, используя (1), ориентируясь на рис. 4.3 и выбрав шаг дискретизации для узлов , последовательно имеем представление

, (2)

которое удобно записать в виде системы относительно

(3)

представимая в следующей матричной форме

. (4)

Используя MATLAB, решаем (4), что с учётом граничных условий даёт , и строим распределение скалярного потенциала электростатического поля между поверхностями. Заметим, что матрица в (4) является разряженной с доминантной главной диагональю.

Далее по формуле (4.2) теорииможно найти и вектор напряжённости электростатического поля.

 

clear;

clf;

 

sz=3;

h=1/(sz+1);

x=0:h:1;

 

% Полученные матрицы для решения системы уравнений

a = [1, -0.5, 0;

0.5, -1, 0.5;

0, -0.5, 1];

b = [0, 0, 1.5]';

 

v = a \ b;

 

% По краям матрицы добавляем данные из граничных условий

v_final = [0, v', 3];

 

plot(x,v_final,'o-'); grid;

xlabel('x');

ylabel('V');

 

Задание 4.5

Найти методом конечных разностей и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля между двумя поверхностями, если . Электрические заряды в пространстве между указанными поверхностями распределены равномерно с плотностью . Сравнить с аналитическим решением.

 

 

a. =0, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

б. =0, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;

в. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.5, ;

г. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

д. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

е. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;

ж. =0, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

з. =0, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;

и. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.5, ;

к. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

л. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

м. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;

 

Решение (стр.205, пример 4.10)

Краевая задача формулируется как одномерная неоднородная задача Дирихле (4.9), которая дискретизируется в форме ячеек, содержащих конечное число узлов (три в данном случае). Уравнение (4.23) может быть записано для любого узла анализируемой области как

. (1)

Используя (1), ориентируясь на рис. 4.3, выбрав шаг дискретизации для узлов при последовательно имеем представление

(2)

которое удобно записать в виде системы относительно

(3)

представимая в следующей матричной форме

. (4)

Используя MATLAB, решаем (4), что с учётом граничных условий даёт , и строим распределение скалярного потенциала электростатического поля между поверхностями. Заметим, что матрица в (4) является разряженной с доминантной главной диагональю. Далее по формуле (4.2) можно найти и вектор напряжённости электростатического поля.

clear;

clf;

 

h=0.25;

x=0:h:1;

 

% Полученные матрицы для решения системы уравнений

a = [1, -0.5, 0;

-0.5, 1, -0.5;

0, -0.5, 1];

b = [-0.125, -0.125, 1.375]';

 

v = a \ b;

 

% По краям матрицы добавляем данные из граничных условий

v_final = [0, v', 3];

 

plot(x,v_final,'o-'); grid;

xlabel('x');

ylabel('V');

 

Задание 4.6

Найти методом конечных разностей вычислить и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля u между двумя бесконечными плоскостями при заданных значениях на них. Электрические заряды в пространстве между указанными поверхностями отсутствуют. Сравнить с аналитическим решением.

Вычислить методом конечных разностей и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля u в бесконечной металлической трубе (двумерная задача), изолированной на углах рис. 4.5. На поверхностях S1 и S2 заданы uS1 = 0 и uS2 = V0. Внутри трубы вводится прямоугольная сетка с шагом : 14 фиксированных узлов на поверхности и 9 свободных узлов внутри.

Использовать MATLAB для решения системы уравнений.

а. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 1 В

б. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 2 В

в. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 3 В

г. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 4 В

д. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 5 В

е. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 6 В

ж. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 7 В

 

 

Рис. Геометрия задачи.

 

Решение

Внутри трубы вводится прямоугольная сетка с шагом : 14 фиксированных узлов на поверхности (потенциал их задан) и 9 свободных узлов внутри. Поскольку внутри трубы, то распределение потенциала находится из решения двумерной однородной задача Дирихле (4.9), и последующим использованием формулы (4.2) для нахождения электростатического поля. Используем разностную форму (4.23) для узлов и значений потенциала на границе в соответствии с рис. 4.3, 4.5 и учтём, что из-за симметрии области относительно оси y и . В результате получаем систему

(1)

которую можно представить в следующей матричной форме

. (2)

Решив (3) найдём соответствующие значения потенциалов , а по формуле (4.2) и вектор напряжённости электростатического поля. Заметим, что матрица в (2) является разряженной с доминантной главной диагональю.

 

clear;

 

a = [4, -1, -1, 0, 0, 0;

-2, 4, 0, -1, 0, 0;

-1, 0, 4, -1, -1, 0;

0, -1, -2, 4, 0, -1;

0, 0, -1, 0, 4, -1;

0, 0, 0, -1, -2, 4];

 

v = [1, 1, 0, 0, 0, 0]';

 

u = a \ v

 

 

Результат:

u =

0.4286

0.5268

0.1875

0.2500

0.0714

0.0982

 

Литература

К разделу 1

1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. Наиболее полное руководство в подлиннике. БХВ-Петербург, 2005, 1104 с.

2. Дьяконов В. П. MATLAB и SIMULINK для радиоинженеров. — М.: «ДМК-Пресс», 2011, 976 с.

 

К разделу 2

Основная:

3. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебн. пособие для вузов.–М.: Наука , 1989. –544 с.

4. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцев А.Д. Техническая электродинамика: Учебн. пособие для вузов.–М.: Радио и связь, 2000.–536 с.

5. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебн. пособие для вузов.–М.: Высшая школа, 1992.–416 с.

6. Гринев А.Ю., Гиголо А.И. Численное моделирование распространения электромагнитных волн в однородных средах. Учебн. Пособие.–Изд. МАИ, 2012, 42 с.

7. Гринев А.Ю. Численные методы решения прикладных задач электродинамики. М.: Изд. Радиотехника, 2012, 336 с.

Дополнительная:

8. Петров Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебник для для вузов.– М.: Горячая линия-Телеком, 2007.–558 с.

9. Неганов В.А., Осипов О.В., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебн. пособие для вузов.–М.: Радио и связь, 2005.–648 с.

 



©2015- 2019 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.