Сделай Сам Свою Работу на 5

Граничные условия. Принцип эквивалентности

При рассмотрении любого реального объекта электродинамики мы встречаемся с двумя типами границ S: границами раздела сред рис. 2.2а и поверхностями, ограничивающими рассматриваемую область пространства рис. 2.2б, в.

 
а) б) в)

Рис. 2.2. Граничные условия.

 

На границе раздела сред (рис.2.2а) выполняются следующие граничные условия:

(2.10)

где индексами 1 и 2 отмечены значения векторов поля в первой и второй средах соответственно; – единичный вектор нормали к поверхности, направленный в первую среду; Js [А/м], [Кл/м3] – вектор плотности поверхностного электрического тока и поверхностная плотность электрических зарядов; – вектор плотности поверхностного магнитного тока и поверхностная плотность магнитных зарядов соответственно. Если вторая среда является идеальным проводником, то вектора поля во второй среде равны нулю.

Помимо естественных граничных условий (2.10) существуют так называемые асимптотические граничные условия, существенно сокращающие вычислительные затраты. Наиболее ярким примером являются импедансное граничное условия Леонтовича, позволяющие учесть влияние одной из сред (в нашем случае второй) с большой проводимостью или большой проницаемостью, записывая соотношения, связывающего вектора электромагнитного поля на границе сред

Задания

Задание 2.1

Доказать, что ток проводимости , текущий по проводам, равен току смещения между двумя параллельными пластинами конденсатора C. Напряжение источника равно .

 

 

Решение (стр.278, пример 5.11)

(1)

поскольку , A–площадь пластин, d–расстояние между пластинами. Далее

. (2)

Поскольку , а то , то из (2) имеем

(3)

 

Задание 2.2

Используя теорему Пойнтинга доказать, что изменение энергии – мощности, которая накапливается в конденсаторе (область между металлическими пластинами в схеме на рисунке) происходит за счёт мощности, поступающей через боковую поверхность структуры. Потерями в проводниках пренебрегаем, размеры

Решение (стр.289, пример 5.18)

Теорема Пойнтинга для области между металлическими пластинами:



. (1)

Полагая электрическое поле однородным между пластинами запишем электрическую энергию, запасённую в структуре (полная магнитная энергия равна нулю)

. (2)

Изменение энергии во времени

, (3)

и последним слагаемым в правой части пренебрегаем, так как потери отсутствуют.

Чтобы определить левую часть (1), требуется найти . Используем второе уравнение Максвелла в интегральной форме:

. (4)

Применив его к контуру L в виде окружности радиуса и поверхности S в виде круга радиуса . Тогда, поскольку внутри структуры , имеем

. (5)

Теперь можем записать вектор Пойнтинга и левую часть в (1):

. (6)

Сравнение выражений (3) и (6) и есть доказательство задания. Пример показывает, что теорема Пойнтинга может быть интерпретирована в терминах теории электрических цепей.

Задание 2.3

Найти аналитически и, используя MATLAB, потенциал V и вектор напряженности электрического поля двух зарядов, расположенных на расстоянии d в свободном пространстве. Используя MATLAB построить поверхность распределения электрического потенциала и вектор напряженности электрического поля в области, окружающей заряд. Графическое построение проводить в интервалах м, и с шагом по осям x и y равным 0.1. Графики выводятся в одном окне.

 

a) 1 нКл, -1 нКл, d = 0.5 м.

б) 1 нКл, -1 нКл, d = 0.4 м.

в) 1 нКл, -1 нКл, d = 0.25 м.

г) 1 нКл, 1 нКл, d = 0.5 м.

д) 1 нКл, 1 нКл, d = 0.4 м.

е) 1 нКл, 1 нКл, d = 0.25 м.

 

 

Решение (стр.97, пример 2.11)

Общее выражение для электрического потенциала имеет вид:

, где –объёмная плотность электрических зарядов в объёме V, . Тогда (для варианта а))

. (1)

Будем далее полагать, что . При таком предположении , и для (1) имеем, опуская очевидные преобразования:

. (2)

Если r >> d, то конфигурация на рисунке называется электрическим диполем.

Используем MATLAB для построения распределения электрического потенциала

clear;

 

% Интервалы построения графиков

xmin = -1;

xmax = 1;

ymin = -1;

ymax = 1;

step = 0.1;

 

% Величины зарядов

Q1 = 1e-9;

Q2 = -1e-9;

 

% Диэлектрическая постоянная

e0 = 8.854187817e-12;

 

[x, y] = meshgrid(xmin: step: xmax, xmin: step: xmax);

 

R1 = (x .^ 2 + (y - 0.25) .^ 2) .^ 0.5;

R2 = (x .^ 2 + (y + 0.25) .^ 2) .^ 0.5;

V = (Q1 ./ (4 * pi * e0 * R1) ) + (Q2 ./ (4 * pi * e0 * R2) );

[u, v] = gradient (V, step);

 

subplot (2, 1, 1)

surf(x, y, V)

axis off

view(-37.5, 20)

text(-3, -2, 35, '(a)', 'fontsize', 18)

 

subplot (2, 1, 2)

contour(x / 5, y / 5, V, 10)

hold on

axis square

quiver (x, y, -u, -v, 1)

axis equal

axis off

hold off

text(-1/2, 1/4, '(b)', 'fontsize', 18)

 

Задание 2. 4.

Заряд Q равномерно распределён внутри сферы радиуса . Рассчитать аналитически электрическое поле вне и внутри сферы и построить соответствующий график, используя MATLAB. Интервал изменения .

 

а) Q = 1 нКл, a = 1 см.

б) Q = 0.5 нКл, a = 1 см.

в) Q = 0.1 мкКл, a = 1 см.

г) Q = 1 нКл, a = 0.5 см.

д) Q = 0.5 мкКл, a = 2 см.

е) Q = 1 нКл, a = 3 см.

 

 

Решение (стр.78, пример 2.7)

Объёмная плотность электрических зарядов . Используем теорему Гаусса

. (1)

Пусть , тогда .

Пусть , тогда .

Амплитуда электрического поля линейно увеличивается с радиусом.

Используем MATLAB для построения графика.

 

clear;

 

% Дано

Q = 1e-9;

a = 1e-2;

 

% Максимальное значение на графике по оси x

r_max = 3 * a;

step = 1e-3;

 

e0 = 8.854187817e-12;

 

% График для r = [0; a]

r1 = 0: step: a;

E_r1 = Q .* r1 ./ (4 * pi * e0 * (a ^ 3) );

 

% График для r = [a; ...]

r2 = a: step: r_max;

E_r2 = Q ./ (4 .* pi .* e0 .* r2 .^ 2);

 

plot (r1, E_r1, 'b-', r2, E_r2, 'b-');

xlabel ('r');

ylabel ('E_r');

grid on;

 

Задание 2.5. (стр.132, пример 3.4)

Дан цилиндрический проводник, по которому протекает ток силой . Определить значение магнитной индукции Bв зависимости от расстояния и построить соответствующий график, используя MATLAB. Построить, используя MATLAB, пространственное распределение вектора магнитной индукции в прямоугольной области мм, мм. Полагаем, что ток распределён в проводнике равномерно.

а) I = 1 А, a = 2 мм.

б) I = 2 А, a = 1 мм.

в) I = 0.5 А, a = 0.5 мм.

г) I = 2 А, a = 2 мм.

д) I = 2 А, a = 0.5 мм.

е) I = 0.1 А, a = 0.5 мм.

 

Решение (стр.132, пример 3.4)

Используются два уравнения электродинамики (2.2а) и (2.3б):

, , (1)

Учитываем стационарность во времени и, выбрав в качестве контура Г окружность, имеем

Вб/м2 (2)

Формула (2) справедлива для , поскольку учтен полный ток через произвольную поверхность , ограниченную контуром Г.

Полагаем, что ток распределён в проводнике равномерно, тогда вектор плотности электрического тока равен

, А/м2 , (3)

тогда (4)

Учитывая результаты (1), (2) и (4) получаем для

. (5)

График зависимости (5) представлен на рисунке

 

 

Построить, используя MATLAB, по формуле (5) соответствующий график в прямоугольной области

clear;

clf

 

% Дано

a = 2e-3;

I = 1;

 

% Интервал для рисования графиков и шаг

L = 5e-3;

step = 0.5e-3;

 

% Магнитная постоянная

mu0 = 4 * pi * 1e-7;

 

[x, y] = meshgrid(-L: step: L, -L: step: L);

[Phi, R] = cart2pol(x,y);

NR = length(R);

NP = length(Phi);

 

for n = 1: NR

for m = 1: NP

Rn = R(m,n);

 

if Rn>a

B(m,n) = mu0 * I / (2 * pi) ./ Rn; % outside

else

B(m,n) = mu0 * I / (2 * pi) * Rn ./ (a ^ 2); % inside

end

end

end

 

Bx = -B .* sin(Phi);

By = B .* cos(Phi);

 

% Рисуем круг

angle = (0: 0.01: 1)' * 2 * pi;

u = a * cos(angle);

v = a * sin(angle);

fill(u, v, 'y')

hold on

fill(u / 20, v / 20, 'k')

 

% Рисуем поле

quiver(x, y, Bx, By)

xlabel('x', 'fontsize', 18)

ylabel('y', 'fontsize', 18)

set(gca, 'fontsize', 18)

axis equal

 

Тема 3. Плоские волны

Основные теоретические сведения по плоским волнам даны на лекциях и в литературе [3-9]. Поэтому ниже дана краткое пояснение к понятиям дисперсии и групповой скорости.



©2015- 2019 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.