Неопределенный и определенный интегралы

Предыдущая 1 2 3 4 5 67Следующая

Задание 1.

Решение.

Интегрируем исходную функцию:

Можно продифференцировать каждую из представленных функций: ; ; ; =f(x) – исходная функция.

Задание 2.

Решение.

Интегрируем исходную функцию: .

Или продифференцируем, каждую из представленных первообразных.

В частности: -исходная функция.

Задание 3.

Решение.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле: . В данном случае: а=1, b=2, .

Задание 4.

Решение.

Значит, несобственный интеграл расходится.

Задание 5.

Решение.

Площадь фигуры, ограниченной двумя линиями можно найти по формуле:

В данном случае по рисунку видно, что ; ; ; .

Задание 6.

Решение.

Мерами закрытых геометрических множеств являются: длина отрезка, площадь плоской фигуры и объем тела. Понятие меры распространяется и на соответствующие полузакрытые и открытые геометрические множества.

В данном случае плоское множество определяется треугольником. Его мерой является площадь. По рисунку видно, что

Задание 7.

Решение.

Мерой плоского множества является площадь фигуры, определяющей это множество.

В данном случае по рисунку видно, что

Дифференциальные уравнения

Задание 1.

Решение.

В данном уравнении переменные уже разделены, можно интегрировать:

; ; .

Решение.

, т.к. , то ,

, .

Задание 3.

Решение.

; ;

Задание 4.

Решение.

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения имеет вид . В рассматриваемом случае характеристическое уравнение имеет вид .

Задание 5.

Пояснения.

1) Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может быть приведено к виду:

2) Однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть приведено к виду:

3) Дифференциальное уравнение вида называется линейным.

4) Дифференциальное уравнение вида называется уравнением Бернулли .

Задание 6.

Решение.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид: .

Алгебраическое уравнение , составленное по дифференциальному уравнению, называется характеристическим.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения.

Если и различные действительные корни, то .

Если = = , то .

Если - комплексные корни, то .

В данном случае значит = = . Такие корни имеет только уравнение .

Задание 7.

Решение.

Неоднородныедифференциальные уравнения второго порядкас постоянными коэффициентами имеют вид: .

Если , то частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде:

при и ;

при или ;

при и ,

где и - корни характеристического уравнения, - многочлен той же степени что и , например, - многочлен нулевой степени, - многочлен первой степени.

В данном случае характеристическое уравнение имеет вид: .

Решим его: =1; .

1. - многочлен 1-й степени, и . .

2. - многочлен нулевой степени, . .

3. - многочлен нулевой степени, , . .

4. - многочлен нулевой степени, , . .

Задание 8.

Решение.

Необходимые элементы теории приведены при решении предыдущего задания. В данном случае характеристическое уравнение имеет вид: .

Решим его: ; =0; =2.

1. - многочлен первой степени, , . .

2. - многочлен второй степени, , .

3. - многочлен нулевой степени, , и .

4. - многочлен нулевой степени, , и .

Числовые, степенные и тригонометрические ряды

Задание 1.

Решение.

Для n = 5. .

Задание 2.

Пояснение.

Числовой ряд имеет вид , где - числа.

Если все элементы числового ряда ( ) положительны, то ряд называется знакоположительным (ряд 3.).

Если знаки числового ряда чередуются, то ряд называется знакочередующимся (ряд 2.).

Степенной ряд имеет вид: , где х – переменная (ряд 1.).

Задание 3.

Решение.

Даны два числовых ряда с положительными членами.

А) .

В) .

Для установления сходимости таких рядов чаще всего пользуются признаком Даламбера и интегральным признаком Коши.

Признак Даламбера.

Пусть существует конечный предел:

, тогда

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то необходимо применить другой признак сходимости.

Интегральный признак Коши.

Пусть , тогда функция определяет числовой ряд: .

1) Если несобственный интеграл сходится, то и числовой ряд сходится.

2) Если приведенный интеграл расходится, то и числовой ряд расходится.

А) Можно показать, что .

Значит, признак Даламбера не позволяет установить сходимость этого ряда. Воспользуемся интегральным признаком Коши.

- функция, определяющая ряд А.

Интеграл сходится значит и ряд А сходится.

В) . ; .

Значит ряд В сходится по признаку Даламбера.

Задание 4.

Решение.

Оба ряда являются знакочередующимися.

А) .

В) .

Для установления сходимости этих рядов воспользуемся признаком Лейбница: если и модули членов ряда убывают, то знакочередующийся ряд сходится.

А) и , т.к. .

Значит ряд А сходится.

В) и .

Значит и ряд В сходится.

Сходящийся знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится он сам и сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Рассмотрим соответствующие ряды вида .

; ;

Ряд расходится по интегральному признаку Коши (см. задание 3).

Значит ряд А сходится условно.

. Сравним этот ряд с рядом . Для ряда :

;

Ряд сходится и все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , значит и ряд сходится по признаку сравнения рядов.

Итак,ряд В сходится абсолютно.

Замечание.

Рассмотрим ряд с положительными членами вида . Если то этот ряд расходится, иначе – сходится (по интегральному признаку Коши). Тогда сходимость ряда можно установить, заменив функцию более простой бесконечно большой функцией того же порядка - .

Например ; и т.д.

Задание 5.

Решение.

Ряд Тейлора для функции имеет вид:

В данном случае

Значит

Задание 6.

Решение.

Ряд Тейлора по степеням одночлена имеет вид:

В данном случае . Видно, что коэффициент при равен .

;

Тогда

Задание 7.

Решение.

Разложение функции в степенной ряд Маклорена имеет вид:

где - факториал числа n.

Первые три члена этого разложения имеют вид: , т.к. по условию .

Из приведенных вариантов ответа один содержит четыре члена, он отпадает.

Сразу отпадает и вариант, у которого первый член равен -1.

Продифференцируем оставшиеся два варианта решения заданного уравнения.

а) ; ; ; .

Подставим в уравнение (*): . Не подходит.

б) ; ; ; .

Подставим в уравнение (*): . Подходит.

Задание 8.

Решение.

Ряд Фурье для периодической функции с периодом имеет вид:

Если функция четная, то все =0, если нечетная, то и все .

В данном случае - четная функция. Значит =0.

Задание 9.

Решение.

Сумма сходящегося ряда Фурье в точках непрерывности равна значениям функции в этих точках . В точках разрыва первого рода сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому значений односторонних пределов функции в этих точках: