В задачах 1 - 20 вычислить двойные интегралы. Сделать чертеж.

1.	а)		если Д:
	б)		где Д ограничена линиями y = x2, y2 = x
2.	a)		если Д:
	б)		где Д ограничена линиями y = x2,
3.	а)		если Д:		если Д:
	б)		где Д ограничена линиями y = 2 - x2, y =2x - 1		где Д ограничена линиями y = x2, y2 = x
4.	а)		если Д:
	б)		где Д ограничена линиями x = 2
5.	а)		если Д:
	б)		где Д ограничена линиями
6.	а)		если Д:
	б)		где Д ограничена линиями x = 2

7. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

8. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

9. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

10. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

11. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями:

12. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

13. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

14. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

15. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

16. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

17. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

18. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

19. a) если Д:

б) где Д ограничена линиями

20. a) если Д:

б) если Д:

В задачах 21 – 40 найти площадь области Д, ограниченную линиями:

21.	y = ; y = 4ex; y = 2; y = 4
22.	y = ; y = 2ex; y = 1; y = 2
23.	y = ; y = 2 ; x = 4
24.	y = ; y = 0; x = 4
25.	x = ; x = - y
26.	y = 2x2 – 1; y = x
27.	y = lnx; y = ; x = 1
28.	y = - 2; y = x + 2; y = 2; y2 = x
29.   30.	y = 2; y = x2 – 1 y = sinx; y = cosx; x = 0; x =

31. y = 0; y = 4; y = - x; y =

32. y = ; y = x; x = 6

33. y = x²; x + y = 6

34. y² = 2x; y= - x

35. y = 4x - x²; y = 3x²

36. y² = - x + 4; y² = 2x - 5

37. y = ; y = 2x; x + 3y – 7 = 0

38. y = ; y = x + 3; 2x + y – 6 = 0

39. y = lnx; y = x – 1; y = - 1

40. y² = - x; x = - 4

Дифференциальные уравнения

Литература: [1] гл.22, §1-5, 7-9, 11-13; [2] гл.15, §1-4; [3] ч.2, гл.1, §1-6; [4] гл.12, §1-5, 7-9; [5] ч.2, гл.4, §1-3.

Разберите решения заданий 34 - 38.

Задание 34. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.Учитывая, что , данное уравнение перепишем в виде

или .

Умножим на dx правую и левую части равенства

.

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные, деля обе части равенства на произведение “лишних” членов .

После сокращения, получим

Проинтегрируем обе части равенства

После интегрирования получим

(1)

Запишем общее решение дифференциального уравнения (1)

.

Решение дифференциального уравнения может быть записано также относительно х. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде

.

В данном случае неопределенная константа С представлена в виде lnC.

Преобразуем

.

Потенцируем полученное равенство: .

Получаем решение дифференциального уравнения

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию: .

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Делим обе части уравнения на

Интеграл, стоящий в правой части уравнения, найдем, применив замену переменной

Запишем общее решение дифференциального уравнения

.

Подставляя начальные условия в общее решение, найдем произвольную постоянную С.

или .

Задание 36.

Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение.

Приведем данное уравнение к виду . Разделим обе части уравнения на хdx :

.

Получили , т.е. функция – однородная нулевого измерения. Тогда - однородное дифференциальное уравнение.

Введем подстановку . Отсюда . Производная . Подставляем у¢ и u в уравнение получим

или .

Отсюда . Заменив , получим или - уравнение с разделяющимися переменными. Делим его на х, получим .

Проинтегрируем его

Заменяя в последнем равенстве, получим

.

Окончательно находим общее решение дифференциального уравнения

.

Задание 37.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение.

Данное уравнение линейное.

; .

Находим решение уравнения в виде произведения двух функций , одна из которых выбирается произвольно. Если , тогда

и данное уравнение примет вид

Подбираем v таким образом, чтобы

Заменив в последнем уравнении

.

Решим уравнение

или .

Потенцируя последнее уравнение получим

.

Оставшаяся часть уравнения имеет вид

.

Подставив в это уравнение и найденное решение , получим

.

Производя сокращение на (х+1)² и умножение на dx правой и левой части равенства, получим

.

Решим уравнение (проинтегрируем)

Задание 38.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.Данное уравнение - неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общий вид которого (1). Оно отличается от соответствующего однородного линейного уравнения (2) наличием в правой части некоторой функции .

Для отыскания общего решения уравнения (1) сначала нужно найти общее решение Y уравнения (2), затем найти какое-либо частное решение .Их сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (1):

.

Для отыскания частного решения наиболее часто применяют метод неопределенных коэффициентов. Пусть (3) - характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (2). Тогда если правая часть уравнения (1) имеет вид

,

где и - действительные числа, а и - многочлены соответственно n-й и m-й степени с действительными коэффициентами, то частное решение уравнения (1) ищется в виде

, (4)

где и - многочлены s-й степени (s– наибольшаяиз степеней n и m) с неопределенными коэффициентами. Здесь - кратность корня характеристического уравнения характеристического уравнения(3). Для нахождения коэффициентов многочленов и искомое частное решение (4) подставляют в левую часть дифференциального уравнения (1) и производят упрощения. Приравнивая коэффициенты при подобных членах в правой и левой частях преобразованного тождества, получают систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов, из которых определяют эти коэффициенты.

Вначале находим решение соответствующего однородного уравнения: .

Для этого составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

.

Характеристическое уравнение имеет действительный кратный корень. В соответствии с формулой для кратных корней характеристического уравнения записываем общее решение данного дифференциального уравнения: .

Определяем вид частного решения исходного уравнения по виду правой части:

,

где .

Так как число не является корнем характеристического уравнения, то в соответствии с формулой частное решение будем искать в виде , где А и В – неизвестные коэффициенты, которые нужно определить.

Находим производные функции :

;

.

Для нахождения коэффициентов А и В подставим выражения в исходное уравнение:

Приведем подобные члены и получим:

.

Приравнивая коэффициенты при и в обеих частях равенства, получаем систему

,

решением которой являются числа и .

Следовательно, частное решение определяется формулой

.

На основании формулы получаем общее решение исходного уравнения:

.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения? частным решением?

3. Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?

4. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? уравнением Бернулли? Укажите способ его решения.

6. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?

7. Какое уравнение называется характеристическим для однородного дифференциального уравнения второго порядка?

8. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

9. Как найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

10. Какой вид имеет частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция?

Задания для самостоятельного решения

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: