Разберите решение заданий 22-28.

Задание 22. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой

у = х и параболой у = 2 – х².

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой:

х – 2 + х² = 0 х₁ = –2; х₂ = 1

Рис. 3

Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми: .

При а = –2, b = 1, f₂(x) = 2 – x², f₁(x) = x получим:

Ответ: 4,5 кв. ед.

Задание 23. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси ОХ.

Решение.Ограниченная линиями

фигура, при вращении вокруг оси ОХ образует тело, объем которого можно найти как разность объемов V₁ и V₂, образованных вращением вокруг оси ОХ трапецией А₁АВВ₁ и А₁АОВВ₁.

Рис.4

;

Искомый объем : .

Задание 24.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ху=6, х=1, х=4, у=0 вокруг оси Ох и вокруг оси Оу.

Объемы тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ох (или Оу) криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(х) (f(х)³0) и прямыми у=0, х=а, х=в, вычисляют соответственно по формулам

Решение.В результате вращения фигуры, ограниченной линиями ху=6, х=1, х=4, у=0 вокруг оси Ох, получим фигуру, изображенную на рис.6(а), вокруг оси Оу на рис. 6(б).

По формуле (1) находим объем фигуры V_x

По формуле (2) находим объем фигуры V_y :

Рис.2. Графическое пояснение к задаче 5

Задание 25.

Вычислить длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки В (4;8).

Решение.Найдем и подставляя в формулу для вычисления дуги кривой , получим

Задание 26.

Найти несобственный интеграл:

Решение.Пользуясь формулой ,имеем

Следовательно, несобственный интеграл сходится.

Задание 27.

Найти несобственный интеграл:

Решение.Согласно равенству

получаем

Задание 28. Найти несобственный интеграл: .

Решение.Подынтегральная функция претерпевает разрыв в точке х=1, лежащей внутри отрезка интегрирования. Используя определение

, находим

Вопросы для самопроверки

1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Напишите интегральную сумму для функции у=f(х) на отрезке [a;b].

3. Что называется определенным интегралом от функции у=f(х) на отрезке [a;b]?

4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

6. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

7. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

8. Как вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох? Оу?

9. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.

10. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.

Задания для самостоятельного решения

В задачах 1-20 вычислить площадь фигур, ограниченных линиями. Сделать чертеж.

1. у= -; y=-9x 2. y=x²; y=; y=0; x=0; x=3

3. y²=2x+1; y=x-1 4. y= -3x+6; y=-x+1

2. y=x²; y=2x; y=x 6. y=x³-3x; y=x

7. y=x²-2x+3; y=3x-1 8. y²=x³; y=8; x=0

9. xy=8; y=8x³; y=27 10. y²=(4-x)³; x=0

11. y = x² – 6x + 9, 12. y = x², xy =8, x = 6

13. y² + 8x = 16, y² – 24x = 48 14. y = x³, y = 2x, y = x

15. y = x² – 4x + 3, y = -x² + 2x + 3 16. y = -x² + 6x + 5, x = 0, y = 0

17. y = x² – 4x + 3, x = 0, x = 4, y = 4 18. y = 8x – x², y = x² + 18x – 12

19. y = 6x², y = 2x³20. y = , y = x, x

В задачах 21 - 40 вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.

Кратные интегралы

Кратные интегралы ограничим рассмотрением двойных интегралов.

Литература: [1] гл.24, §1-3, 6-7; [2] гл.13, §1-4; [3,ч.2] гл.2, §6-7;

[5,ч.2] гл.1, §1-6.

Разберите решение заданий 29-33.

Задание 29.Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области D, ограниченной прямыми и .

Решение.

Вычисляем интеграл по формуле , где , , , .

Внутренний интеграл вычисляем, считая х постоянным:

Полученную функцию от х интегрируем по отрезку :

Обычно вычисление внутреннего интеграла отдельно не делают, а все выкладки записывают в одну строку следующим образом:

Задание 30.

Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной параболой и прямыми , и (рис. 3).

Решение.Область D является простой как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу. Однако левая и правая границы области D составлены из двух участков, поэтому для вычисления двойного интеграла по формуле

необходимо разбить область D на три области: (рис.3). Нижняя и верхняя границы области представлены каждая одним уравнением (соответственно и ).

Поэтому вычислим данный интеграл по формуле

: Рис.3

Задание 31.Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной гиперболой и прямыми и (рис. 4).

Решение.Область D является простой как относительно оси Ох, так и

относительно оси Оу. Так как левая и правая границы области D представлены каждая одним уравнением (соответственно и ) в отличие от нижней и верхней границ, каждая из которых составлена из двух участков, то для вычисления интеграла воспользуемся формулой:

Рис.4

Задание 32.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

, .

х = y² - 2у

х + у = 0

Рис. 5

Решение.Решая систему уравнений , получим точки А(-1;1), О(0;0) пересечения данных линий. Изобразим область интегрирования на рисунке 5. Площадь плоской фигуры D вычисляем по формуле .Перейдем от двойного интеграла к повторному интегралу

Задание 33.

Найти координаты центра тяжести пластинки, ограниченной параболой и прямой у=1, если плотность распределения массы в каждой точке равна ординате этой точки (рис. 6).