Пределы применимости формулы Эйлера

Чтобы установить пределы применимости формулы Эйлера, определим критическое напряжение , т.е. напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня при действии критической силы : , (1)

где А – площадь поперечного сечения стержня.

Но – наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня.

Тогда формулу (1) можно записать в виде: .

Величина характеризует влияние размеров стержня и способы закрепления его концов; она называется гибкостью стержня и обозначается . Гибкость – величина безразмерная. Таким образом, обозначая , получаем:

.

Формулу Эйлера можно применять при соблюдении следующего условия:

, (2)

где – предел пропорциональности материала стержня.

Записывая формулу (2) относительно гибкости , получаем условие применимости формулы Эйлера: .

Например, для стали Ст3 ( МПа) и .

Таким образом, для стержней из малоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость больше 100.

Если критические напряжения по формуле (2) превзойдут предел пропорциональности , т.е. не будет действовать закон Гука, то для расчета критической силы пользуются эмпирической формулой Тетмайера-Ясинского:

, откуда ,

где a и b – коэффициенты, зависящие от материала (для Ст3 a=310 МПа, b=1,14 МПа).

X. Расчет на прочность при напряжениях, циклически изменяющихся

Во времени (расчет на усталость)

Многие детали машин подвергаются воздействию повторно-переменным нагрузкам циклически изменяющихся во времени. Например, вращающийся вал с деталями вращения (зубчатые колёса, «звездочки» зубчатых передач и т.д.) испытывает циклически изменяющиеся напряжения. Волокна вала оказываются то в растянутой зоне, то в сжатой.

При действии повторно-переменных нагрузок разрушение вала происходит в результате постепенного развития трещины, называемой усталостной.

Возникшая трещина становится сильным концентратором напряжений и в результате ослабленное сечение становится местом усталостного разрушения (долома).

Процесс образования усталостной трещины и последующего разрушения под действием переменных напряжений называют усталостью.

Свойство материала противостоять усталости , называют сопротивлением усталости. Основной параметр, характеризующий это свойство, является предел усталости .

Повторно-переменные нагрузки, как правило, меняются циклически во времени и носят синусоидальный характер.

Однократную смену напряжений от максимального до минимального и обратно называют циклом напряжений.

Характеристики циклов

Цикл переменных напряжений характеризуется:

1). Максимальным и минимальным по алгебраическому значению напряжений цикла: и .

2). Средним напряжением цикла : .Среднее напряжение цикла – постоянная во времени составляющая цикла (положительная или отрицательная).

3). Амплитуда напряжений цикла : .

4). Коэффициент ассиметрии цикла напряжений: . Циклы, имеющие одинаковые значения R, называют подобными. Из предыдущих формул очевидно:

Классификация циклов

В общем случае цикл напряжений называют ассиметричным. Для этого цикла: (рис. 21, а).

Рис. 21

В случае, если , имеем симметричный цикл напряжений (рис. 21, б). При этом цикле:

Цикл напряжений, показанный на рис. 21, в, называют отнулевым (пульсационным). Для этого цикла:

Постоянное статическое напряжение (рис. 21, г) можно рассматривать как частный случай переменного с характеристиками:

; ; ; ; R=+1.

Расчеты на выносливость

(усталость)

Практика показала, что при повторно-переменных нагрузках материал разрушается при напряжениях, значительно меньших, чем при постоянных нагрузках: это явление, как уже отмечалось, называют усталостным разрушением материала.

Однако на практике при испытаниях выявлено, что существует такое наибольшее (максимальное) напряжение, при котором материал не разрушается при любом числе циклов. Такое напряжение называют пределом выносливости: , где , т.е. цикл симметричный – самый опасный.

Опыты показывают, что на предел выносливости влияют следующие факторы:

1). – концентрация напряжений;

2). – размеры поперечных сечений детали (вала);

3). – состояние поверхности и упрочнения поверхностного слоя.

1). Влияние концентрации напряжений. Концентраторами напряжений (места резкого повышения напряжений) являются резкие изменения формы детали: уменьшение или увеличение диаметра вала, шпоночные пазы на валу и т.д. В местах концентраторов предел выносливости значительно снижается. Это снижение учитывается эффективным коэффициентом концентрации напряжений: .

Чтобы уменьшить концентрацию напряжений в резких переходах диаметров вала, этот переход делают плавным: «ступеньку» сглаживают круговой галтелью или канавкой и местные напряжения в этих местах резко снижаются.

2). Влияние абсолютных размеров поперечного сечения вала. Опыты показывают, что чем больше абсолютные размеры поперечного сечения вала, тем меньше предел выносливости. Это влияние учитывается коэффициентом влияния абсолютных размеров поперечного сечения вала (масштабный коэффициент): .

3). Влияние качества поверхности и упрочнения поверхностного слоя. Грубая обработка поверхности вала снижает предел выносливости.

Для оценки влияния качества поверхности вала на предел выносливости вводится коэффициент качества: .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: