Интенсивностью распределённой нагрузки

Производная от изгибающего момента М по абсциссе x сечения балки равна поперечной силе Q: – (теорема Журавского).

Определение нормальных и касательных напряжений при изгибе

В изогнутой балке волокна на выпуклой части растянуты, а на вогнутой – сжаты.

Плоскость, в которой лежат не изменяющиеся по длине волокна, называют нейтральным слоем, т.е. в этом слое нормальные напряжения равны нулю: .

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки называется нейтральной осью (линией) (рис. 14).

По закону Гука , т.е. при изгибе нормальные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения балки пропорционально расстоянию y от нейтрального слоя (здесь – радиус кривизны нейтрального слоя балки). Наибольшие напряжения и будут в наружных волокнах балки (см. рис 14).

Рис. 14

В общем случае изгиба (при поперечном изгибе) в поперечных сечениях балки наряду с изгибающим моментом М возникает поперечная сила Q. Наличие силы Q связано с возникновением в поперечных сечениях балки касательных напряжений .

Эти касательные напряжения для прямоугольного сечения балки рассчитываются по формуле Д.И.Журавского: , где Q – поперечная сила; – статический момент полуплощади поперечного сечения; – осевой момент инерции площади поперечного сечения, b – ширина площади поперечного сечения.

Наибольшие касательные напряжения для балки прямоугольного сечения имеют место на уровне нейтральной оси (рис. 14, э ).

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения по известному изгибающему моменту М и моменту инерции сечениярассчитываются по формуле:

, где y – расстояние от нейтрального слоя до точки расчетного напряжения.

Условия прочности по нормальным напряжениям.

Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения при изгибе в опасном сечении, т.е. в сечении, где М имеет наибольшее по модулю значение, не превосходили допускаемых напряжений и :

; ;

; ,

где и – расстояния от нейтрального слоя балки до наружных её волокон зон растяжения (t) и сжатия (cж);

– здесь значения подставляются наибольшие по абсолютному значению;

– осевой момент инерции площади поперечного сечения балки;

и – осевые моменты сопротивления.

Перемещения при изгибе. Условие жёсткости.

Под действием нагрузки балки искривляются. Сечения балки перемещаются перпендикулярно и одновременно поворачиваются (рис. 15).

Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному оси балки называется прогибом – .

Рис. 15

Угол , на который сечение поворачивается, называется углом поворота сечения.

Для определения деформации балки пользуются уравнением , связывающим кривизну оси балки с изгибающим моментом М и жесткостью сечения балки . Величина представляет собой кривизну нейтрального слоя балки.

Прогиб балки рассчитывается с использованием известного из курса математики

дифференциального уравнения изогнутой оси балки по формуле:

,

где l – пролет балки (рис. 15).

Отсюда условие жесткости:

,

где – допускаемый прогиб балки.

В машиностроении норма допускаемого прогиба колеблется в довольно широких пределах, в зависимости от назначения детали:

.

VII. Кручение

Стержень испытывает кручение, если в его поперечных сечениях возникают крутящие моменты Т. Эти крутящие моменты возникают под действием внешних скручивающих моментов (рис. 16).

Рис. 16

Вращающиеся и работающие на кручение стержни называют валами.

Для определения внутренних крутящих моментов Т в поперечных сечениях вала применяют метод сечений: внутренний крутящий момент Т в поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов , действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для наглядного представления о характере распределения и значения крутящих моментов по длине стержня строят эпюры этих моментов. Их построение аналогично построению эпюр при растяжении или сжатии. Общепринятого правила знаков для крутящих моментов не существует. Примем следующее правило знаков (рис. 16, а):

Рис. 16, а

Внутренний крутящий момент Т в сечении а-а считается положительным, когда внешний момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть со стороны сечения. Если же внешний момент вращает отсеченную часть по часовой стрелки (при взгляде со стороны сечения), то внутренний крутящий момент Т в сечении будем считать отрицательным.

Рассмотрим построение эпюры внутренних крутящих моментов Т на примере рис. 16, б: вал CD, опирающийся на подшипники В и А и находящийся в равновесии под действием приложенных к нему в сечениях E. K и L внешних моментов. Сделав сечение а-а на участке DL и рассмотрев равновесие правой отсеченной части, убедимся, что Т=0.

Рис. 16, б

Сделав сечение b-b на участка LK, получим из условия равновесия правой от сечения части . И, наконец, сделав сечение с-с на участке КЕ, из условия равновесия правой части получим Т=20–30=–10 (рис. 16, б).

Из построенной эпюры внутренних крутящих моментов (эТ) видно, что в местах приложения внешних крутящих моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину приложенных внешних моментов.

При наличии окружных усилий (рис. 17), вызывающих кручение вала, предварительно вычисляют внешние скручивающие моменты , создаваемые этими силами: , где r – расстояние от точки приложения силы до оси вращения вала,

т.е. r – радиус вала.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: