Вынужденных колебаний и его решение

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний

Явление резонанса. Резонансные кривые

Поскольку свободные механические колебания реальной системы являются затухающими, то для поддержания таких колебаний используют переменную внешнюю силу, приложенную к системе. Ее называют вынуждающей, или возмущающей силой, а сами колебания называются вынужденными колебаниями, совершающимися с частотой возмущающей силы. Пусть на материальную точку вдоль оси действуют возвращающая сила и вынуждающая внешняя сила, которая изменяется во времени по гармоническому закону . Тогда дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид:

,

, (34.1)

где ; ; .

Общее решение этого уравнения состоит из двух решений:

. (34.2)

Здесь общее решение однородного дифференциального уравнения вида (33.3);

частное решение неоднородного дифференциального уравнения (34.1).

Первое слагаемое, т.е. быстро затухает . Поэтому при вклад в решение (34.2) дает только частное решение (второе слагаемое), которое представляет собой вынужденные гармонические колебания осциллятора с частотой, равной частоте вынуждающей силы, т.е.

. (34.3)

Такой осциллятор является системой, в которой можно возбудить механические колебания.

Выражения для амплитуды и сдвиг фазы найдем, подставив в дифференциальное уравнение (34.1) решение (34.3) и его производные:

,

,

.

В результате подстановки получим тригонометрическое уравнение:

(34.4)

Уравнение (34.4) показывает, что сумма трех одинаково направленных гармонических колебаний с амплитудами

, , и различными начальными фазами , и должна совпадать с гармоническим колебанием, происходящим по закону с амплитудой .

Из рисунка следует, что

, (34.5)

(34.6)

Подставив в уравнение (34.3) значения и , определяемые формулами (34.5) и (34.6), получим функцию:

. (34.7)

Обратим внимание на тот факт, что амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний определяются не начальными условиями, а значениями и частоты вынуждающей силы, а также параметрами осциллятора .

Исследуем выражения (34.5) и (34.6) как функции частоты и построим их графики (рис. 34.2, рис. 34.3).

Очевидно, что максимуму амплитуды соответствует минимум знаменателя или его подкоренного выражения. Тогда, исследуя покоренное выражение знаменателя на экстремум, продифференцировав его по , получим уравнение:

(34.8)

Его решение имеет три корня:

, . (34.9)

Из двух корней и физический смысл имеет лишь положительный корень, определяющий резонансную частоту внешней периодической силы:

, (34.10)

которой соответствует максимальное (резонансное) значение амплитуды:

.(34.11)

При , т.е. при малом затухании:

. (34.12)

На рис. 34.2 показаны зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы; отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям параметра . В соответствии с (34.10) и (34.11), чем меньше , тем выше и правее лежит максимум данной кривой, и тем «острее» он получается. При очень большом затухании (таком, что ) выражение (3.10) для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что резонанс при таких условиях не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую на рис. 34.2). Изображенные на рис. 34.2 графики функции (34.6), соответствующие различным значениям параметра , называются резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых необходимо отметить следующее. При стремлении к нулю амплитуда вынужденных колебаний стремится к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает колебательная система под действием постоянной силы , т.е.

. (34.13)

При стремлении к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю. Это объясняется тем, что при большой частоте вынуждающая сила настолько изменяет свое направление, что осциллятор (колебательная система) не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

Установим связь добротности осциллятора при малом затухании (т.е. при ) с резонансной амплитудой. Разделим выражение (34.12) на смещение от положения равновесия под действием постоянной силы (34.13):

, (34.14)

(см. формулу (33.13)). Таким образом, добротность показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).

Зависимость сдвига фазы вынужденных колебаний от частоты возмущающей силы показана на рис. 34.3. Из рис. 34.1 видно, что вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания лежит в пределах от нуля до (рис. 34.3). Частота соответствует . Резонансная частота меньше собственной (см. формулу (34.10)). Следовательно, в момент резонанса . При слабом затухании , и значение при резонансе можно считать равным . Из рис. 34.3 также видно, что при малых частотах вынуждающей силы ( ) числовое значение меньше , а при частотах, больших, чем собственная частота осциллятора, .

Явление механического резонанса может быть как вредным, так и полезным. В связи с этим при конструировании машин, зданий, сооружений нужно подбирать их параметры так, чтобы собственная частота колебаний не совпадала с частотой возможных внешних воздействий. В противном случае резонансные колебания могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, явление резонанса позволяет исследовать даже слабые колебания, например, в акустике для анализа звуков и их усиления.

На величину амплитуды колебаний (см. формулу (34.6)) можно воздействовать посредством внешней силы, но и косвенно, путем изменения тех параметров системы, которые определяют частоту собственных колебаний. Сюда относятся длина маятника, коэффициенты возвращающих сил и др. Такие колебания называются параметрическими. Если в процессе изменения параметров системы под действием внешней силы над системой будет совершена положительная работа, тогда энергия системы возрастает, что приведет к увеличению амплитуды колебаний. Это явление называется параметрическим резонансом

ГЛАВА 35 Вопросы:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: