Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение

12 3 4 5

ГЛАВА 32

Вопросы:

Гармонические колебания и их характеристики

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

И его решение

Пружинный, физический и математический маятники

Гармонический осциллятор

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени.

К механическим колебаниям относятся колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, зданий, мостов и других сооружений, качка корабля, волнение моря и т.п.

Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Свободными (собственными) колебаниями называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия.

Вынужденными колебаниями называют колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия (например, колебания силы тока в электрической цепи, вызываемые переменной ЭДС; колебания маятника, вызываемые переменной внешней силой).

Колебания называют периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени , удовлетворяющий этому условию, называется периодом колебаний. За период колебаний система совершает одно полное колебание. Частотой периодических колебаний называется величина , равная числу полных колебаний, совершающихся за единицу времени. Циклической, или круговой, частотой периодических колебаний называется величина , равная числу полных колебаний, совершающихся за единиц времени.

При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины от времени удовлетворяет условию .

Периодические колебания величины называются гармоническими колебаниями, если физическая величина изменяется во времени по синусоидальному или косинусоидальному закону, то есть

или

, (32.1)

где – циклическая, или круговая, частота гармонических колебаний, – максимальное значение колеблющейся величины , называемое амплитудой колебаний, и постоянные величины. Значение в произвольный момент времени определяется значением фазы колебаний (соответственно ). Величины и представляют собой начальные фазы колебаний, то есть значение и в момент ( ) начала отсчета времени , .

Если материальная точка совершает свободные прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат около положения равновесия, принятого за начало координат, то зависимость координаты точки от времени имеет вид

. (32.2)

Проекции скорости и ускорения точки на ось равны

, (32.3)

где – амплитуда скорости, – амплитуда ускорения.

Сила , действующая на материальную точку, равна и

, (32.4)

где – масса материальной точки. Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и стремится вернуть точку в положение равновесия.

, (32.5)

где – орт оси . Здесь .

Такая зависимость силы от смещения характерна, например, для упругой силы

. (32.6)

Здесь – вектор перемещения упруго деформированного тела при его продольном растяжении или сжатии, – коэффициент упругости.

Поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называются квазиупругими силами или возвращающими силами.

Материальная точка, колеблющаяся под действием квазиупругой (возвращающей) силы (32.6) называется линейным гармоническим осциллятором. Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением или

+ , (32.7)

(здесь ), общее решение которого – уравнение (32.2).

Рассмотрим несколько простейших систем с одной степенью свободы, совершающих свободные гармонические колебания.

Пример 1

Рассмотрим движение пружинного маятника, который представляет собой материальную точку массой , подвешенную на пружине жесткостью (рис. 32.1). Такая система представляет собой линейный гармонический осциллятор. В произвольном положении на точку действует сила тяжести , сила упругости , где _ст– статическая деформация в состоянии равновесия.

Рис. 32.1

На основании второго закона Ньютона запишем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось (начало координат совмещено с положением статического равновесия, в котором сила тяжести уравновешивается силой упругости, равной ):

. (32.8)

Из сравнения с уравнением (32.7) следует, что колебания пружинного маятника происходит по закону , где , амплитуда и начальная фаза определяются с помощью начальных условий (по значениям координаты и скорости в начальный момент времени ). Период колебаний определяется соотношением .

Пример 2

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой длиной нити и совершающая малые колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести и силы упругости нити (рис. 32.2).

Составим дифференциальное уравнение движения математического маятника. Второй закон Ньютона в проекции на касательную имеет вид:

Рис. 32.2

Рис. 32.3

. (32.9)

В случае малых отклонений от положения равновесия, когда , получим дифференциальное уравнение осциллятора :

. (32.10)

Следует отметить, что в данном случае точка массой движется по дуге окружности под действием касательной составляющей . В случае малых колебаний сила оказывается пропорциональной длине дуги , то есть совпадает по виду с упругой силой в законе Гука и потому называется квазиупругой силой. Таким образом, причиной появления возвращающей силы в системе могут быть не только силы упругости, но и другие силы, например, сила тяжести при наличии связи в виде нити длиной в случае математического маятника.

Пример 3

Физический маятник – твердое тело, имеющее возможность качаться под действием его силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси , не проходящей через центр тяжести тела (рис. 32.3) и называемой осью качания маятника (а также под действием реакции опоры оси ). Центр тяжести маятника совпадает с его центром инерции . Точка пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной к оси качания, называется точкой подвеса маятника.

Поскольку мы имеем дело с вращательным движением тела, воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения относительно горизонтальной оси вращения (ось проходит через точку перпендикулярно к плоскости рис. 32.3):

где – момент инерции маятника относительно оси вращения.

В случае малых колебаний получим уравнение осциллятора для вращательного движения :

(32.11)

Решение этого уравнения имеет вид:

. (32.12)

Из полученного решения следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает свободные гармоническое колебания (в отсутствие трения) с циклической частотой , периодом

(32.13)

и амплитудой колебания ( – максимальный угол поворота маятника вокруг оси вращения от положения равновесия).

Введем понятие приведенной длины физического маятника, определив ее как длину такого математического маятника, который совершает колебания с той же частотой, что и физический маятник. Приравняв частоты из уравнений (32.10) и (32.12), получаем:

Используя теорему Штейнера, определим приведенную длину и период для физического маятника:

, (32.14)

где – момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через центр маятника и параллельной оси его качания.

Точка , лежащая на прямой на расстоянии от точки подвеса маятника (рис. 32.3), называется центром качания физического маятника. Центр качания и точка подвеса обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качания проходила через точку , то точка будет совпадать с новым положением центра качания маятника, то есть приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними. Это свойство физического маятника демонстрируется с помощью, так называемого оборотного маятника, который служит, в частности, для определения ускорения свободного паления в данной точке поверхности Земли. Для этого нужно на опыте измерить период , приведенную длину и воспользоваться формулой (32.14) для периода колебаний . Тогда ускорение можно рассчитать по формуле

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна:

или

Кинетическая энергия материальной точки периодически изменяется от 0 до , совершая гармонические колебания с циклической частотой и амплитудой около среднего значения, равного .

Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием квазиупругой силы, равна:

или .

Потенциальная энергия материальной точки периодически изменяется от 0 до , совершая гармонические колебания с циклической частотой 2ω₀ и амплитудой около среднего значения, равного .

Колебания потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на , так что полная механическая энергия материальной точки не изменяется при колебаниях: