Подходы к раскрытию темы в учебной литературе

Логика — наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний. Основы логики как науки были заложены в IV в. до н.э. древнегреческим ученым Аристотелем. Правила вывода истинности высказываний, описанные Аристотелем (силлогизмы) оставались основным инструментом логики вплоть до второй половины XIX в., когда в трудах Дж. Буля, О. де Моргана и др. возникла математическая логика. Средствами этой новой науки все прежние достижения логики были переведены на точный язык математики. Развивается аппарат алгебры логики (булевой алгебры), исчисления высказываний, исчисления предикатов. Развитие математической логики имело большое значение для всей математической науки, повысив уровень ее строгости и доказательности.

Логика относится к числу дисциплин, образующих математический фундамент информатики. Знакомство учащихся с элементами математической логики в рамках fcypca информатики может происходить в следующих аспектах:

• процедурно-алгоритмическом;

• в логическом программировании;

• схемотехническом.

К первому аспекту относится использование логических величин и логических выражений в языках программирования процедурного типа, а также в работе с электронными таблицами, с базами данных. В условных операторах, условных функциях, реализующих алгоритмическую структуру ветвления, используются логические выражения. В запросах на поиск информации в базах данных также присутствуют логические выражения. Использование в программах величин логического типа позволяет эффективно решать сложные логические задачи, «головоломки».

Впервые в школьной информатике элементы логического программирования языка Пролог были включены в учебник [19]. Согласно авторской концепции одной из главных задач школьной информатики должно быть развитие логического мышления учащихся, умения рассуждать, доказывать, подбирать факты, аргументы и обосновывать предлагаемые решения. Как известно, парадигма логического программирования является альтернативной к процедурной парадигме. В механизме вывода Пролога используется аппарат исчисления предикатов.

В контексте моделирования знаний элементы логического программирования присутствуют в учебнике [9]. В первой части учебника рассказывается лишь об идее построения логической модели знаний. Реализация этой идеи на Прологе раскрывается во второй части, ориентированной на углубленное изучение базового курса.

Под схемотехническим аспектом понимается знакомство с логическими схемами элементов компьютера: вентилей, сумматоров, триггера, предназначенных для обработки и хранения двоичной информации. При изучении данной темы следует обратить внимание учеников на то обстоятельство, что основой внутреннего языка компьютера является язык логики, булева алгебра. Это связано с двумя обстоятельствами: во-первых, внутренний язык компьютера и язык логики используют двоичный алфавит (0 и 1); во-вторых, все команды языка процессора реализуются через три логические операции: И, ИЛИ, НЕ.

Тема логических схем элементов ЭВМ присутствует в учебниках [17, 19]. Обширный материал по использованию математической логики в курсе информатики содержится в пособии для учителя [14]. Практический материал по теме «Логическая информация и основы логики» имеется в учебном пособии [10].

Методические рекомендации по изучению темы

Изучаемые вопросы:

ª Логические величины, операции, выражения.

ª Математическая логика в базах данных.

ª Математическая логика в электронных таблицах.

ª Математическая логика в программировании.

В данном подразделе будет отражена методическая схема введения основных понятий математической логики, необходимых при изучении базового курса информатики, а также их использования при работе с прикладным программным обеспечением и в языках программирования. Основными понятиями здесь являются: высказывание, логическая величина (константа, переменная), логические операции, логическое выражение.

Основные понятия математической логики

Высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Например:

«Лед — твердое состояние воды» — истинное высказывание.

«Треугольник, это геометрическая фигура» — истинное высказывание.

«Париж — столица Китая» — ложное высказывание.

6 < 5 — ложное высказывание.

Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ (true, false). Следовательно, истинность высказываний выражается через логические величины.

Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, X, У и пр. — переменные логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическое выражение — простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок).

Логические операции. В математической логике определены пять основных логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквивалентность. Первые три из них составляют полную систему операций, вследствие чего остальные операции могут быть выражены через них (нормализованы). В информатике обычно используются эти три операции.

Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки & или Ù. Конъюнкция — двухместная операция; записывается в виде: А Ù В. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного из операндов ложно.

Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой связке соответствуют союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком Ú. Дизъюнкция — двухместная операция; записывается в виде: A Ú В. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного из операндов истинно.

Отрицание. В русском языке этой связке соответствует частица НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот «неверно, что...»). Отрицание — унарная (одноместная) операция; записывается в виде: ØА или А̅.

Логическая формула (логическое выражение) — формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Пример 1.Рассмотрим сложное высказывание: «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3». Представить данное высказывание в виде логической формулы.

Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда соответствующая логическая формула имеет вид: А & В. Очевидно, ее значение — ИСТИНА.

Пример2. Рассмотрим сложное высказывание: «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку».

Обозначим через А простое высказывание «летом я поеду в деревню», а через В — простое высказывание «летом я поеду в туристическую поездку». Тогда логическая форма сложного высказывания имеет вид A Ú В.

Пример3. Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится на 3».

Обозначим через А простое высказывание «4 делится на 3». Тогда логическая форма отрицания этого высказывания имеет вид ØА.

Правила выполнения логических операций отражены в следующей таблице, которая называется таблицей истинности (табл. 8.2).

Таблица 8.2

Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок операции влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах. Например: (А иБ) или(не А иВ) или(не А и неБ)

Пример 4.Вычислить значение логической формулы:

не X и Y или Х и Z,

если логические переменные имеют следующие значения: X = = ЛОЖЬ, Y = ИСТИНА, Z = ИСТИНА.

Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в выражении:

1243 не X и Y или X и Z.

Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам:

1) не ЛОЖЬ = ИСТИНА;

2) ИСТИНА и ИСТИНА = ИСТИНА;

3) ЛОЖЬ и ИСТИНА = ЛОЖЬ;

4) ИСТИНА или ЛОЖЬ = ИСТИНА. Ответ: ИСТИНА.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: