Двумерные преобразования координат

Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 262728 29 30 31 Следующая

Преобразование координат графических объектов используется с целью модификации, зеркального отображения и перемещения объекта. Основные случаи :

- преобразование системы координат, например, из полярной в декартову,

- изображение типовых или повторяющихся деталей объекта,

- построение проекций трехмерных объектов,

- направленная деформация при синтезе новых форм,

- мультипликация и создание узоров.

Различают двумерные ( 2D ) и трехмерные ( 3D) преобразования. Рассмотрим двумерные аффинные преобразования, когда в получаемом новом изображении объекта сохраняется прямолинейность и параллельность прямых, а также деление отрезков в заданных соотношениях.

Общий вид формул двумерных аффинных преобразований:

x₁= a₁₁ x + a₁₂ y + a₁₃или в x₁a₁₁ a₁₂ a₁₃x

матричном y₁= a₂₁ a₂₂ a₂₃* y

y₁= a₂₁ x + a₂₂ y + a₂₃виде: z₁ 0 0 1z

Здесь x, y - координаты исходного, а x₁, y₁ - преобразованного объекта.

Коэффициенты преобразований a _{I J} сохраняют в виде матрицы, расширенной до квадратной, - при для вычисления коэффициентов составного преобразования перемножают соответствующие матрицы коэффициентов типовых преобразований.

Примеры типовых преобразований и соответствующие им матрицы:

( Ф - исходная фигура, Ф₁ - преобразованная )

dx Ф₁ Параллельный 1 0 dx

dy перенос 0 1 dy

Ф 0 0 1

Ф₁ Масштабирование Sx 0 0

Sx = x₁/x; Sy = y₁/y 0 Sy 0

Ф 0 0 1

Ф₁

Поворот относительно cos a -sin a 0

начала координат sin a cos a 0

Ф 0 0 1

Зеркальное отображение:

Ф₁ cos(2*A) sin(2*A) 0

относительно оси Y=Х sin(2*A) - cos(2*a) 0

Ф проходящей под углом “A” 0 0 1

₀ X

Ф₁ относительно начала -1 0 0

координат 0 -1 0

0 0 1

Y₁

a Ф₁

Деформация сдвига : 1 tg(a) 0

Ф X₁ в направлении X - a tg(b) 1 0

в направлении Y - b 0 0 1

Составные преобразования обычно представляют в виде комбинаций типовых преобразований. Например, поворот относительно произвольной точки ( Xc, Yc) можно представить как комбинацию трех преобразований:

- параллельный перенос, переводящий центр поворота в начало координат,

- поворот относительно начала координат,

- параллельный перенос, противоположный первоначальному.

Перемножение матриц выполняется следующим образом:

a₁₁ a₁₂ a₁₃b₁₁ b₁₂ b₁₃c₁₁ c₁₂ c₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ * b₂₁ b₂₂ b₂₃ = c₂₁ c₂₂ c₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃b₃₁ b₃₂ b₃₃c₃₁ c₃₂ c₃₃

где c_{I J} = a_I₁* b_{1 J}+ a_I₂* b_{2 J}+ a_I₃* b_J₃, i= 1, 2, 3; j= 1, 2, 3.

то есть элемент матрицы “C”, расположенный в I-строке и J-столбце, равен сумме произведений элементов I -ой строки матрицы “A“ на соответствующие элементы J-го столбца матрицы B.

В приведенной ниже программе плоская фигура задается в виде линий, последовательно соединяющих координаты массива точек (xa, ya) на чертеже ( x, y - в системе координат экрана ). Эти координаты подвергаются аффинным преобразованиям, коэффициенты преобразования хранятся в двумерном массиве r. Начальному положению фигуры соответствует единичная матрица R (единицы на главной диагонали, остальные члены - нули). При очередном преобразовании коэффициенты матрицы R пересчитываются путем умножения на нее матрицы этого преобразования (А), получаемая матрица (В) снова записывается в R. Новые координаты x, y высчитываются в процедуре NEW_XY, которая вызывается непосредственно при выводе фигуры на экран процедурой PICTURE.

uses Graph, Crt;{------- Аффинные преобразования плоских фигур -------- }

var Gd,Gm,n,i,j,k,l,m,xc,yc,xc1,yc1: integer;{-- описание --}

{ глобальных переменных}

xa, ya: array[1..50] of real;{ исходные координаты фигуры }

x, y : array[1..50] of integer;{ новые координаты фигуры }

a, b, r: array[1..3, 1..3] of real; { массивы коэффициентов матриц 3*3 }

PROCEDURE I_R; {-------- присвоение матрице R значения единичной ---------}

Begin

for i:=1 to 3 do begin { 1 0 0 }

for j:=1 to 3 do r[i, j]:=0; { 0 1 0 }

r[i, i]:=1; end; { 0 0 1 }

end;

PROCEDURE MULT; {---------- умножение матриц А и R: R = B = A*R ------------}

var z: real;

Begin

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do begin z:=0;

for k:=1 to 3 do z:=z+a[i,k]*r[k,j];

b[i,j]:=z end;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do r[i,j]:=b[i,j] end;

PROCEDURE MOVE(dx,dy:real); {----расчет матриц А и R для переноса фигуры ---}

begin { ---на dx, dy--- }

for i:=1 to 3 do begin { 1 0 dx }

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0; { 0 1 dy }

a[i,i]:=1 end; { 0 0 1 }

a[1,3]:=dx; a[2,3]:=dy;

MULT; end;

PROCEDURE SCALE(sx,sy:real); {-расчет матриц А и R для масштабирования ----}

begin{--фигуры: по оси Х - умножение на sx, по оси Y - на sy --}

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0; { sx 0 0 }

a[1,1]:=sx; { 0 sy 0 }

a[2,2]:=sy; a[3, 3]:=1; { 0 0 1 }

MULT; end;

PROCEDURE ROTATE(alfa: real);{- расчет матриц А и R для поворота фигуры--}

var c, s: real; {---на угол alfa(рад)---}

begin { cos(alfa) -sin(alfa) 0 }

for i:=1 to 3 do { sin(alfa) cos(alfa) 0 }

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0; { 0 0 1 }

a[3,3]:=1;

c:=cos(alfa); a[1,1]:= c; a[2,2]:=c;

s:=sin(alfa); a[1,2]:=-s; a[2,1]:=s;

MULT; end;

PROCEDURE MIRROR(alfa: real);{---- расчет матриц А и R для зеркального ----}

var c, s: real; {----отражения объекта на угол alfa(рад)--}

begin { cos(2*alfa) sin(2*alfa) 0 }

for i:=1 to 3 do { sin(2*alfa) -cos(2*alfa) 0 }

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0; { 0 0 1 }

a[3,3]:=1;

c:=cos(2*alfa); a[1,1]:=c; a[2,2]:=-c;

s:=sin(2*alfa); a[1,2]:=s; a[2,1]:=s;

MULT; end;

PROCEDURE AXES(alfa,beta:real); {расчет матриц А и R сдвига осей координат }

{--- ось x смещается на угол alfa, ось y - на угол beta --}

Begin

for i:=1 to 3 do begin { 1 tg(beta) 0 }

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0; { tg(alfa) 1 0 }

a[i,i]:=1 end; { 0 0 1 }

a[1,2]:=sin(beta)/cos(beta);

a[2,1]:=sin(alfa)/cos(alfa); MULT;

end;

PROCEDURE NEW_XY; {---- расчет новых координат фигуры по исходным ------ }

begin{----- с использованием матрицы преобразования R ------}

for i:=1 to n do begin

x[i]:=round( xa[i]*r[1, 1]+ ya[i]*r[1, 2]+ r[1, 3] );

y[i]:=round( xa[i]*r[2, 1]+ ya[i]*r[2, 2]+ r[2, 3] ) end;

end;

PROCEDURE PICTURE;{--- рисование фигуры по координатам X, Y --- }

begin moveto(x[n], y[n]);

for i:=1 to n do lineto(x[i], y[i]);

end;

PROCEDURE ROT_XY(xc,yc,beta:real);{- поворот фигуры вокруг точки ( хс, ус)--}

begin{-- на угол beta --}

MOVE(-xc, -yc); { Смещение центра поворота в центр начала координат }

ROTATE(beta); { поворот относительно начала координат }

MOVE(xc, yc);{ обратное смещение фигуры }

end;

{------примеры аффинных преобразований исходной фигуры ------}

Var alfa: real;

BEGIN n:=4;{ число вершин фигуры }

m:=12;{ число зеркальных отображений фигуры }

xc:=5; yc:=5;{"центр" фигуры}

xa[1]:=5; ya[1]:=5;{ координаты вершин фигуры на чертеже }

xa[2]:=70; ya[2]:=20;

xa[3]:=15; ya[3]:=55; 0 X

xa[4]:=20; ya[4]:=20;

Gd:= Detect;

InitGraph(Gd, Gm, 'C:\tp7\bgi'); Y

xc1:=GetMaxX div 2; yc1:=GetMaxY div 2;{ центр экрана }

I_R; NEW_XY;{ исходные координаты фигуры }

SetWriteMode(1);

{-------------- Вращение вокруг смещающегося центра -----------}

for l:=1 to 150 do begin

PICTURE;

xc:=xc+3; yc:=yc+2; putpixel(xc, yc, 12);{ смещение центра xc, yc }

MOVE(3,2); { перенос фигуры соответственно смещению центра }

ROT_XY(xc, yc, -0.3);{ поворот на 0.3 рад относительно xc, yc }

delay(2); PICTURE; NEW_XY;

end;

readln; ClearDevice;

SetWriteMode(0);

{--------- Зеркальные отображения фигуры -------------}

I_R; PICTURE;

for i:=1 to n do begin

xa[i]:=x[i]; ya[i]:=y[i] end; {задание исходных координат фигуры}

for l:=1 to m do begin alfa:=2*Pi*(l-1)/m;{угол наклона зеркала к оси X}

{ Line(xc1-round(xc1*cos(alfa)), yc1-round(xc1*sin(alfa)),

xc1+round(xc1*cos(alfa)), yc1+round(xc1*sin(alfa)));{линия зеркала}

MOVE(-xc1,-yc1); MIRROR(alfa); MOVE(xc1,yc1); { преобразования}

NEW_XY; PICTURE;{ расчет и рисование новых координат фигуры}

end;

readln;

CloseGraph;

END.

В первой части программы фигура вращается вокруг точки, перемещающейся по диагонали экрана. Во второй части программы фигура последовательно отображается вокруг осей, проходящих через центр экрана.

Практическое задание N 2. 9

1. С использованием процедур зеркального отображения фигуры относительно оси, проходящей под углом “А” через начало координат и параллельного переноса, составить программу “ калейдоскоп” - последовательное отображение фигуры относительно “n” осей, проходящих через центр экрана.

2. С использованием процедур масштабирования и параллельного переноса, составить программу последовательного увеличения и уменьшения фигуры, расположенной в центре экрана.

3. С использованием процедур сдвига и параллельного переноса, составить программу искажения и восстановления формы фигуры, расположенной в центре экрана.

4. С использованием процедур зеркального отображения фигуры относительно начала координат и параллельного переноса, составить программу последовательного отображение фигуры, расположенной в центре экрана, относительно “n” точек, расположенных на окружности, проходящей через центр экрана.

Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 262728 29 30 31 Следующая

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: