Сделай Сам Свою Работу на 5

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.





Пусть – одномерное инвариантное подпространство, порождаемое вектором , т.е. .

Определение 12. Вектор , удовлетворяющий условию , называется собственным вектором, а соответствующее число – собственным числом (характеристическим числом) линейного оператора .

- характеристическое уравнение матрицы А. Многочлен, стоящий в левой части характеристического уравнения, называется характеристическим многочленом матрицы .

Свойства собственных векторов и собственных значений.

1°. Все собственные векторы, принадлежащие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство. Действительно, они получены как решения СЛОУ образуют линейное подпространство.

2°. Теорема 4. Если собственные векторы , принадлежат попарно различным собственным значениям, то они линейно независимы.

3°. Если и – матрицы линейного преобразования в различных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают.

4°. У характеристического многочлена могут быть простые корни, т.е. кратности 1, а могут быть кратные корни.

Теорема 4. Пусть – корень характеристического многочлена кратности . Тогда, ему соответствует не более линейно независимых собственных векторов.



5°. Линейное преобразование имеет собственное значение, равное нулю оно не является взаимно однозначным.

Определение 1. Линейное преобразование евклидова пространства называется сопряженным данному преобразованию , если E :

.

Свойства сопряженных операторов.


1°.

2°.

3°.

4°.

5°.


Определение 2. Линейное преобразование евклидова пространства называется самосопряженным или симметрическим, если

Определение 1. Линейное преобразование в евклидовом пространстве Eназывается ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение, т.е. E=> .

Определение 2. Если , то преобразование называется собственным, если , то несобственным.


Жорданова форма

Определение 1.Вектор называется собственным вектором преобразования , отвечающим собственному значению , если

, т.е. .

Определение 2.Вектор называется присоединенным вектором первого порядка преобразования , отвечающим собственному значению , если вектор является собственным вектором преобразования .



Определение 3.Вектор называется присоединенным вектором –го порядка, если вектор является присоединенным вектором – го порядка.

По индукции можно показать, что если – присоединенный вектор – го порядка, то , .

Определение 4. Векторы из пространства называются относительно линейно независимыми над пространством , если их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит .

Определение 5. Базисом пространства относительно подпространства называется такая система линейно независимых векторов из , которая после пополнения каким-нибудь базисом из образует базис во всем пространстве.

= - жорд. клетка, отвечающая собств. значению .

- жордановы клетки матрицы преобразования .


Линии второго порядка

Определение 1. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

- каноническое уравнение эллипса. Числа и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Определение 2.Число называется эксцентриситетом эллипса.

. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: если , то , а эллипс становится похожим на окружность. При увеличении эллипс становится более вытянутым.

Определение 3. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.



- каноническое уравнение гиперболы.

Определение 4.Эксцентриситетом гиперболы называется число

.

. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше , тем больше вытягивается основной прямоугольник (так как ), а вслед за ним и гипербола вдоль оси .

Определение 5. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от точки и прямой . Точка называется фокусом параболы, прямая директрисой параболы.

- каноническое уравнение параболы, p – фокальный параметр.

Фокальный параметр равен длине перпендикуляра к оси параболы, восстановленного из фокуса до точки пересечения с параболой. Он характеризует форму параболы.

Определение 6. Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Определение 7. Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая её пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.