Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Пусть – одномерное инвариантное подпространство, порождаемое вектором , т.е. .
Определение 12. Вектор , удовлетворяющий условию , называется собственным вектором, а соответствующее число – собственным числом (характеристическим числом) линейного оператора .
- характеристическое уравнение матрицы А. Многочлен, стоящий в левой части характеристического уравнения, называется характеристическим многочленом матрицы .
Свойства собственных векторов и собственных значений.
1°. Все собственные векторы, принадлежащие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство. Действительно, они получены как решения СЛОУ образуют линейное подпространство.
2°. Теорема 4. Если собственные векторы , принадлежат попарно различным собственным значениям, то они линейно независимы.
3°. Если и – матрицы линейного преобразования в различных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают.
4°. У характеристического многочлена могут быть простые корни, т.е. кратности 1, а могут быть кратные корни.
Теорема 4. Пусть – корень характеристического многочлена кратности . Тогда, ему соответствует не более линейно независимых собственных векторов.
5°. Линейное преобразование имеет собственное значение, равное нулю оно не является взаимно однозначным.
Определение 1. Линейное преобразование евклидова пространства называется сопряженным данному преобразованию , если E :
.
Свойства сопряженных операторов.
1°.
2°.
3°.
4°.
5°.
Определение 2. Линейное преобразование евклидова пространства называется самосопряженным или симметрическим, если
Определение 1. Линейное преобразование в евклидовом пространстве Eназывается ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение, т.е. E=> .
Определение 2. Если , то преобразование называется собственным, если , то несобственным.
Жорданова форма
Определение 1.Вектор называется собственным вектором преобразования , отвечающим собственному значению , если
, т.е. .
Определение 2.Вектор называется присоединенным вектором первого порядка преобразования , отвечающим собственному значению , если вектор является собственным вектором преобразования .
Определение 3.Вектор называется присоединенным вектором –го порядка, если вектор является присоединенным вектором – го порядка.
По индукции можно показать, что если – присоединенный вектор – го порядка, то , .
Определение 4. Векторы из пространства называются относительно линейно независимыми над пространством , если их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит .
Определение 5. Базисом пространства относительно подпространства называется такая система линейно независимых векторов из , которая после пополнения каким-нибудь базисом из образует базис во всем пространстве.
= - жорд. клетка, отвечающая собств. значению .
- жордановы клетки матрицы преобразования .
Линии второго порядка
Определение 1. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
- каноническое уравнение эллипса. Числа и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
Определение 2.Число называется эксцентриситетом эллипса.
. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: если , то , а эллипс становится похожим на окружность. При увеличении эллипс становится более вытянутым.
Определение 3. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.
- каноническое уравнение гиперболы.
Определение 4.Эксцентриситетом гиперболы называется число
.
. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше , тем больше вытягивается основной прямоугольник (так как ), а вслед за ним и гипербола вдоль оси .
Определение 5. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от точки и прямой . Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой параболы.
- каноническое уравнение параболы, p – фокальный параметр.
Фокальный параметр равен длине перпендикуляра к оси параболы, восстановленного из фокуса до точки пересечения с параболой. Он характеризует форму параболы.
Определение 6. Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.
Определение 7. Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая её пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|