Свойства (сложения матриц).

1) Коммутативность: => .

2) Ассоциативность: => .

3) , где - нулевая матрица.

4) . Матрица называется противоположной к и обозначается .

Свойства (умножения матрицы на элемент кольца).

выполняется

1) .

2) .

3) .

4) .

Свойства (умножения матриц).

1) Ассоциативность: => .

2) Дистрибутивность сложения относительно умножения, т.е.,

, .

, .

3) , где - единичная матрица.

4) .

5) .

6) .

Определение 6. Прямой суммой квадратных матриц порядков соответственно называется квадратная матрица порядка : .

Свойства (прямой суммы).

1) .

2) .

3) .

4) .

Определение 1. Определителем квадратной матрицы порядка с элементами из называется элемент кольца :

= = ,

где сумма берется по всем перестановкам множества из элементов, – знак перестановки.

Таким образом, из элементов составляются всевозможные произведения из сомножителей, содержащих по одному элементу из каждого столбца и каждой строки. Всего слагаемых в сумме равно числу перестановок, т.е. равно .

Определение 2. Матрица Î называется транспонированной к матрице , если она получается следующим образом: –й столбец матрицы состоит из элементов –ой строки матрицы , расположенных в том же порядке.

Операция называется транспонированием.

Свойства операции транспонирования матриц.

1.

2.

3.

4. справедливо

5.

6.

Определение 4. Если квадратная , то называется симметричной, тогда , если т.е. , то – называется кососимметричной (антисимметричной).

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е.

Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из 0,то определитель равен нулю.

Свойство 3. Если матрица получена из перестановкой каких–либо двух строк, то

Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Свойство 5. Если получена из умножением некоторой строки на , то .

Свойство 6. Если содержит две пропорциональные строки, то .

Свойство 7.Если все элементы –ой строки матрицы представлены в виде двух слагаемых: , то , где , имеют все строки, кроме –ой, как в , а –ая строка состоит из , а – из , т.е.

Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю.

Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Определение 5.Минором порядка матрицы называется определитель матрицы порядка , образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.

Определение 6. Если – квадратная порядка , то каждому минору порядка можно поставить в соответствие дополнительный минор порядка , элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов.

Алгебраическими дополнениями минора называется произведение дополнительного минора на

Теорема 1(о разложении определителя).

Если и , то равен сумме произведений элементов любой строки матрицы на их алгебраические дополнения, т.е. .

Определение 1.Матрица называется обратной для , если .

Определение 2.Квадратная матрица называется невырожденной (или неособой), если и вырожденной (особой), если .

Определение 3.Матрицей присоединенной к матрице , называется матрица

,

где – алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Теорема 1: Для того, чтобы для матрица существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

Свойства обратных матриц:

Пусть _. Тогда

1.

2.

3.

4.

5.

Вычисление:

Определение 1. Будем говорить, что строка является линейной комбинацией строк , если для некоторых справедливо

, (1)

Это равенство удобно записать в матричном виде:

(1’)

Определение 2.Строки назовем линейно зависимыми, если такие одновременно не равные нулю, такие что

Строки, не являющиеся линейно зависимыми, являются линейно независимыми. Иными словами, – линейно независимы, если равенство возможно лишь когда .

Теорема 1: Строки – линейно зависимы одна из этих строк является линейной комбинацией остальных.

Определение 3.Число называется рангом матрицы , если

1) минор порядка , отличный от нуля.

2) Все миноры –го порядка равны нулю.

Т.о., рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора.

Линейные пространства

Определение 1.Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем , если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) является абелевой группой;

2) Для любых и выполняются равенства:

а) Умножение на не изменяет , т.е. .

б) .

в) .

г) .

Свойствалинейного пространства.

1) => .

2) => .

3) => .

4) => .

5) .

6) .

7) .

Определение 2.Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется выражение вида: .

Определение 3.Вектора называются линейно независимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. . Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что

Определение 5. Совокупность векторов называют базисом в , если

1. вектора – линейно независимы;

2. для найдутся . (1)

Определение 6. Линейное пространство называется n–мерным, если

1. В нем n линейно независимых векторов.

2. векторов линейно зависимы.

Определение 7.Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем любое число линейно независимых векторов.

Определение 6.Два произвольных линейных пространства V и над одним и тем же полем называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно-однозначное соответствие так, что если векторам отвечают соответственные вектора , то вектору отвечает вектор , а вектору при отвечает вектор .

 

1234

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.