Свойства рациональных дробей.

Комплексные числа

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел и , если для них определены понятие равенства, операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1) Два числа и равны тогда и только тогда, когда , , т.е.

(1)

2) Суммой комплексных чисел и называется число, обозначаемое и равное , т.е.

(2)

3) Произведением комплексных чисел и называется число, обозначаемое и равное , т.е.

∙

(3)

Множество комплексных чисел обозначаетсяC.

Комплексное число называется сопряженным с комплексным числом .

Число называется модулем комплексного числа и обозначается .

(4)

Выражение (4) называется алгебраической формой записи комплексного числа.

(6)

Формулы (6) задают так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа:

, где ,

Формула Муавра. Для справедлива формула Муавра

Формула Эйлера

(8)

Корень n-ной степени из комплексного числа:

Алгебраические операции

Определение 1. -арной алгебраической операцией на X называется отображение . Т.е. –компонентному элементу однозначно ставится в соответствие элемент .

Определение 2. Множество X с конкретной заданной на нем алгебраической операцией называется алгебраической структурой.

Определение 3. Бинарная операция на X называется коммутативной, если ; ассоциативной, если выполняется .

Определение 4. Элемент называется нейтральным относительно алгебраической операции , если

(1)

Определение 5.Множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом или полугруппой с единицей.

Определение 6. Элемент моноида называется симметричным к элементу , если

(2)

Определение 7.Непустое множество G с заданной алгебраической операцией называется группой, если

1) – ассоциативная операция.

2) В G нейтральный элемент .

3) симметричный элемент из

Если – коммутативная операция, то группа называется коммутативной или абелевой.

Свойства группы.

1) В группе G нейтральный элемент и симметричный элемент.

2) Для уравнения имеют единственное решение:

, .

3) Закон сокращения в группе. Если .

Определение 8.Пусть − произвольное множество из элементов; например, Перестановкой степениназываетсявзаимно-однозначное отображение множества в .

Множество всех перестановок степени обозначается .

состоит из n!элементов.

Определение 9. Непустое множество K называется кольцом и обозначается (K ), если выполняются условия:

1) (K, +) – абелева группа.

2) умножение ассоциативно, т.е.

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

, .

Кольцо называется коммутативным, если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.

Свойства кольца.

1) Умножение дистрибутивно относительно вычитания, т.е.

2) .

3) Если − отличный от нуля элемент из , не являющийся делителем нуля, и . Аналогично,

Определение 10. Множество с заданными на нём алгебраическими операциями сложения + и умножения называется полем и обозначается ( ), если:

1) (P;+) – абелева группа.

2) (P\{0}; ) – абелева группа.

3) Умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

Свойства поля.

1) В поле Р нет делителей нуля.

2) Сокращение на ненулевой элемент: из

3) , уравнение в поле P имеет единственное решение .

Определение 11.Пусть (композиция) − бинарная алгебраическая операция на . Подмножество называется замкнутым относительно , если выполняется

Определение 18. Пусть и − множества, и − бинарные операции (на и соответственно). Гомоморфизмом из в называется отображение такое, что

Пример. Отображение является гомоморфизмом из (R, +) в (R, ). Это следует из справедливости равенства

Определение 19.Изоморфизм − это биективный гомоморфизм.

Определение 20. Пара изоморфна паре , если изоморфизм из в .

Многочлены

Пусть – поле. Тогда многочленом (полиномом) от одной переменной с коэффициентами из называется выражение вида

Определение 1. Многочленом одной переменной с коэффициентами из называется бесконечная последовательность , в которой лишь конечное число элементов не равно нулю.

Множество многочленов с коэффициентами из поля обознается .

Сложение умножение многочленов.

Пусть . Тогда

, , где .

Деление многочленов.

Теорема 2. Пусть . Тогда

(1)

Определение 2.Если и , то называется остатком при делении на .

Определение 3. Пусть . Если , то говорят, что делится на или делит , и пишут . Если , то означает, что остаток от деления равен . В этом случае многочлен называется делителем многочлена .

Свойства (делимости многочленов). Пусть , , , , , . Тогда справедливы свойства:

1) Если , .

2) , .

3) , .

4) выполняется .

5) Если , , то справедливо

6) .

7) имеем .

8) .

9) .

10) .

11) Если , то имеем .

Определение 4. Многочлен называется общим делителем и , если и . Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов и называется их делитель , который делится на любой другой их общий делитель.

Определение 5. Многочлены называют взаимно простыми, если их общими делителями являются только многочлены нулевой степени.

– взаимно просты НОД_.

Определение 6. Число называется корнем многочлена , если .

Теорема 6 (теорема Безу). Пусть . Тогда .

Доказательство.Разделим на :, где const. Тогда

. ■

Определение 7. Наибольшее называется кратностью корня многочлена . Такой корень называется -кратным корнем Если , то корень называется простым.

Теорема 8 (ОТА). Всякий многочлен , имеет хотя бы один комплексный корень.

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Для любых попарно различных и любых существует единственный многочлен

Такой многочлен имеет вид:

, (5)

где

Из формулы видно, что и так как

, то

Определение 8.Построенный многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а (5) – интерполяционной формулой Лагранжа.

Определение 9. Многочлен , называется неприводимым (над полем ), если его нельзя представить в виде произведения многочленов из , степени которых меньше .

Рациональные дроби

Пусть – поле, – кольцо многочленов над .

Определение 1.Если задана пара многочленов , где , то символ называется рациональной дробью с числителем и знаменателем .

Определение 2.Рациональные дроби и называются равными, если в кольце имеется равенство

(1)

Свойства рациональных дробей.

1. дробь равна самой себе.

2. Свойство транзитивности: если и .

Определение 3.Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Определение 4. Правильная рациональная дробь называется простейшей, если её знаменатель является степенью неприводимого многочлена , т.е. , и .

Пример. Представим в виде суммы простейших дробей, где

.

Здесь и значит разложение дроби на суму простейших имеет вид .

Тогда искомое разложение имеет вид:

.

Матрицы и определители

Пусть – коммутативное кольцо с единицей.

Определение 1. Матрицей размеров над кольцом называется прямоугольная таблица из элементов кольца и имеющая строк и столбцов:

где – номер строки, – номер столбца, − элементы матрицы, и − порядки матрицы. В этом случае говорят, рассматриваемая матрица размера . Если , то матрица называется квадратной, а число – её порядком.

Определение 2. Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.

Определение 3. Суммой матриц и (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица : .

Определение 4. Произведением элемента на матрицу называется матрица

Определение 5.Произведением матриц размера и размера называется матрица размеров такая, что каждый элемент .

12 3 4

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.