Свойства изоморфных пространств.

1. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент и наоборот.

2. Если элементам соответствуют , то линейная комбинация векторов равна нулю V, т.е. линейная комбинация с теми же коэффициентами равна нулю, т.е. .

3. Если V и изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и то же, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и ту же размерность.

4. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными.

Определение 1.Непустое подмножество векторного пространства над полем называется линейным подпространством (или просто подпространством) линейного пространства , если выполняются следующие свойства:

1. , их сумма .

2. , , имеем: .

Определение 2.Линейной оболочкой множества (линейной оболочкой ) будем называть совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т.е. множество элементов вида

,

где – произвольные элементы .

Определение 3.Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1. Умножение строки на элемент , отличный от нуля.

2. Прибавление к одной строке другой строки.

3. Перестановка строк.

4. Такие же преобразования над столбцами.

Определение 6.Будем называть суммой подпространств и и обозначать множество всех векторов, которые можно представить в виде , где и .

Определение 7.Назовём пересечением подпространств и и обозначим множество векторов, котоые принадлежат одновременно обоим подпространствам.

Теорема 6.Сумма размерностей произвольных подпространств и конечномерного линейного пространства равна сумме размерности пересечения этих подпространств и размерности суммы этих подпространств, т.е. .

Определение 8.Будем говорить, что векторное пространство представляет собой прямую сумму подпространств и , если может быть единственным образом представлен в виде суммы , где , .

Системы линейных уравнений

Определение 1.Системой линейных уравнений с неизвестными над полем называется система выражений вида

(1)

где . Элементы называются коэффициентами системы (1), – ее свободные члены. Если все , то система (1) называется однородной, иначе – неоднородной.

Определение 2.Совокупность элементов поля : называется решением (1), если после подстановки их вместо соответственно во все уравнения (1) получаются тождества.

Определение 3.Если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, если решений нет – несовместной.

Теорема 1. (правило Крамера) Система уравнений с неизвестными в случае, когда , имеет решение, причем только одно. Это решение находится по формулам:

, , (3)

где , – определитель матрицы, получаемой из заменой -ого столбца на столбец свободных членов.

Теорема 2. (теорема Кронекерра–Капелли). Для того чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы, т.е.

.

Определение 9. Всякая линейно независимая система решений СЛОУ (1) называется фундаментальной системой решений.

Геометрические вектора

Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.

Определение 1.Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец. Направленный отрезок обозначается .

Определение 4.Два направленных отрезка и считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ).

Определение 5.Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).

Определение 7.Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Обозначают .

Определение 8.Три и более векторов называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Свойства сложения векторов.

1. .

2. .

3. , т.к. .

4. Для каждого вектора вектор, называемый вектором, противоположным , такой, что .

Определение 10.Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) векторы и сонаправлены, если и противоположно направлены, если ;

2) .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: