Формулы сокращённого умножения.

1 2 345

Часто используются следующие формулы сокращённого умножения:

1) Квадрат суммы и квадрат разности

(а+в)² = а²+2ав+в²; (а-в)² = а²-2ав+в²;

2) Разность квадратов

а²-в² = (а-в)(а+в);

3) Куб суммы и куб разности

(а+в)³ = а³+3а²в+3ав²+а³; (а-в)³ = а³-3а²в+3ав²-а³;

4) Сумма кубов и разность кубов

а³+в³=(а+в)(а²-ав+в²); а³-в³=(а-в)(а²+ав+в²).

Примеры:

1. Упростить выражение:

1) 3(у-1)²+6у = 3(у²-2у+1)+6у=3у²-6у+1+6у=3у²+1

2) (2в-3)(3в+2)-3в(2в+3)=6в²+4в-9в-6-6в²-9в=-14в-6.

Алгебраические дроби.

Выражение вида , где в числителе и знаменателе стоя многочлены, называется алгебраической дробью.

Алгебраическая дробь удовлетворяет свойствам обыкновенной дроби, её можно сокращать и расширять, две дроби можно сравнивать, складывать, умножать и т.д.

Примеры:

1. Сократить дробь:

= = .

2. Упростить выражение:

а) = = = ;

б) = = = ;

в) = = = ;

г) = = = .

Задание 5.

1. Сократить дробь:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

2. Выполнить сложение или вычитание дробей:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

3. Умножение или деление дробей:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

4. Выполнить действия:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) − ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) : ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .

Логарифм.

Определение логарифма.

Логарифмом числа b по данному основанию а называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Обозначение:

= c. Предполагается, что b

Основное логарифмическое тождество:

десятичным логарифмом и обозначается lg x.

Логарифм с основанием е=2,71828…, называется натуральным логарифмом и обозначается .

Логарифмирование действие, заключающееся в нахождении логарифма числового, алгебраического или иного выражения.

Логарифмирование – одно из действий, обратных возведению в степень: если , то a = , c =

Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием. Этим действием по логарифму выражения восстанавливается само выражение.

Свойства логарифмов.

Свойства логарифмов, используемые при выполнении различных преобразований и решении уравнений при а :

1). ;

2).

3). = n

4).

5).

6). .

Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Множитель называется модулем перевода от системы логарифмов с основанием a к системе с основанием b.

В частном случае при х = a .

Отношение логарифмов двух чисел, вычисленных при одинакоых основаниях, есть величина постоянная для данных чисел и независящая от выбора основания:

, или .

Примеры:

1). Прологарифмировать по основанию 2 выражение:

Х =

= 5 .

2). Определить значение х, если:

;

Х= .

3) Вычислить :

а) = ;

б) = 8;

в) =6

Задание 6.

Вариант1.

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

Х= $

3. Найти х, если

Вариант 2.

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

Х= ;

3. Найти х, если

Вариант 3.

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

Х= ;

3. Найти х, если

4. .

Вариант 4.

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

Х= ;

3. Найти х, если

Вариант 5.

1. Вычислить:

;

2. Прологарифмировать выражение:

Х=

3. Найти х, если

Вариант6

1. Вычислить

;

2. Прологарифмировать выражение:

Х= ;

3. Найти х, если

Вариант7

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) 2 ;

2. Прологарифмировать выражение:

х= ;

3. Найти х, если

Вариант 8

1. Вычислить:

;

2. Прологарифмировать выражение:

Х= ;

3. Найти х, если

Вариант 9.

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в)

2. Прологарифмировать выражение:

Х=3 ;

3. Найти х, если

;

Вариант 10.

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

Х=4 ;

3. Найти х, если

;

Вариант 11

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

Х=

3. Найти х, если

Вариант 12.

1. Вычислить:

а) ;

б)

в) 3 ;

2. Прологарифмировать выражение:

Х=

3. Найти х, если

Вариант 13.

1. Вычислить:

а) ;

б)

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

Х=

3. Найти х, если

Вариант 14.

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

Х= ;

3. Найти х, если

Вариант 15.

1. Вычислить:

;

2. Прологарифмировать выражение:

;

3. Найти х, если

Вариант16.

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

Х= .

3. Найти х, если

Вариант17.

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) +

2. Прологарифмировать выражение:

Х= ;

3. Найти х, если

Вариант 18.

1. Вычислить:

а)

б) ;

в)

2. Прологарифмировать выражение:

Х= ;

3. Найти х, если

Вариант 19.

1. Вычислить:

а)

б) ;

в)

2. Прологарифмировать выражение:

Х=15 ;

3. Найти х, если

Вариант 20.

1. Вычислить:

а)

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

;

3. Найти х, если

Вариант 21.

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в)

2. Прологарифмировать выражение:

Х= ;

3. Найти х, если

;

Вариант 21.

1. Вычислить:

а)

б) ;

в)

2. Прологарифмировать выражение:

3. Найти х, если

Вариант 22.

1. Вычислить:

а)

б) ;

в)

2. Прологарифмировать выражение:

3. Найти х, если

Вариант23.

1. Вычислить:

а)

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

;

3. Найти х, если

Вариант 24

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

;

3. Найти х, если

.
Вариант 25

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

;

3. Найти х, если

Вариант 26

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) - ;

2. Прологарифмировать выражение:

;

3. Найти х, если

4. ;

Вариант 27

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

;

3. Найти х, если

Вариант28

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

;

3. Найти х, если

Вариант 29

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

;

3. Найти х, если

Вариант 30

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Прологарифмировать выражение:

;

3. Найти х, если

Основы тригонометрии.

Слово «тригонометрия» происходит от слияния греческих слов «треугольник» и «измеряю».

Тригонометрия играет важную роль не только в математике, но и во многих других науках. С помощью тригонометрических функций описываются такие явления, как движение планет, циклические изменения в деятельности человека и животных, морские приливы и отливы, колебания маятника, электромагнитные явления в различных технических установках и т.д.

Обилие формул в тригонометрии несколько затрудняет усвоение всего материала, поэтому требуется максимум усилий для успешного усвоения данной темы.

6.1. Радианная мера угла.

Широко известны следующие единицы измерения углов: градус, минута, секунда. При решении задач механики, астрономии, электротехники широко применяется ещё одна единица измерения углов: так называемый радиан.

Радианом называется центральный угол, опирающийся на дугу длина которой равна радиусу.

1рад.=

Величина центрального угла не зависит от длины радиуса окружности.

Установим связь между градусным и радианным измерениями углов:

360

Формула перехода от градусного измерения к радианному имеет вид:

а =

Формула перехода от радианного измерения к градусному:

Длина дуги окружности равна радианной мере дуги, умноженной на радиус этой дуги:

L = aR.

Примеры:

1) Чему равна радианная мера дуги 300

По формуле получим: а = = .

2) Чему равна градусная мера дуги

По формуле получим: = = .

6.2. Тригонометрические функции.

Окружность с центром в начале координат и радиусом, равном 1, называется единичной окружностью.

Точку А(1;0) единичной окружности примем за начало отсчёта дуг, а положительную полуось ОХ – за начальную сторону угла. Вращение единичного радиуса-вектора от положительной полуоси ОХ против движения часовой стрелки назовём положительным, а по часовой стрелки – отрицательным.

Дуги первой четверти заключены в промежутке 0 , второй четверти – в промежутке

Длина целой числовой единичной окружности равна Если два числа соответствуют одной и той же точке числовой единичной окружноти, то их разность кратна2

У М

А(1;0)

0 х

Абсцисса х точки М числовой единичной окружности называется косинусом числа .

Х=

Ордината у точки М числовой единичной окружности называется синусом числа

У= .

Отношение ординаты точки М к её абсциссе называется тангенсом числа

Отношение абсциссы точки М к её ординате называется котангенсом числа

В таблице приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 0 Прочерк сделан в том случае, когда выражение не имеет смысла.

	0	30	45	60	90


tg					-
ctg	-

Рассмотрим знаки тригонометрических функций:

- положителен в первой

и второй четвертях и отрицателен в третей и четвёртой четвертях;

- так как = х, то её знак зависит от знака х, поэтому положителен в первой

и третей четвертях и отрицателен во второй и четвёртой четвертях;

-так как tg и ctg , то их знаки зависят от знаков х и у, поэтому tg

положительны в первой и третей четвертях и отрицательны во второй и четвёртой

четвертях.

Знаки тригонометрических функций по четвертям приведены в таблице:

	0
	+	+	-	-
	+	-	-	+
tg	+	-	+	-
ctg	+	-	+	-

Из таблицы видно, что функция является чётной функцией, остальные функции являются нечётными.

Поскольку 1 и -1 то -1 , а функции tg не ограничены.

7.3. Основные тригонометрические тождества.

;

1+ = ;

Используя основные тригонометрические тождества, можно выразить через данную тригонометрическую функцию остальные функции.

Пример:

Дано:

( перед радикалом стоит минус, так как во второй четверти .

6.4. Формулы приведения.

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов угла

При применении формул приведения рекомендуется пользоваться следующими правилами:

1. Если убирается целое число то функция названия не меняет, если убирается нецелое число , то название функции меняется на сходное( синус - на косинус, тангенс – на котангенс и наоборот).

2. Знак, с которым нужно брать функцию находится по знаку первоначальной функции.

Пример:

Вычислить = .

6.5.Формулы суммы и разности двух углов.

Для нахождения тригонометрическихфункций суммы и разности двух аргументов применяются следующие формулы:

;

6.6. Формулы двойного угла.

;

6.7. Формулы половинного угла.

;

6.8.Преобразование суммы тригонометрических

функций в произведение.

;

Задание 7.

1. Вычислить выражения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) 3tg930

7) ;

2. Упростить:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

7.Функции.

Функцией называется закон, по которому каждому значению величины

х, называемой аргументом ставится в соответствие единственное число у.

Множество значений х называется областью определения, а множество значений у – областью значений функции.

7.1Линейная функция.

Линейная функция задаётся формулой: у = кх + в. График линейной функции – прямая. Число к называется угловым коэффициентом и равно тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс.

Свойства линейной фукнкции:

1) Область определения: множество всех действительных чисел.

2) Область значений: множество всех действительных чисел при к