Обращение десятичной дроби в простую дробь

И простую в десятичную.

Чтобы обратить десятичную дробь в простую, число, стоящее после запятой, пишут в числителе, а в знаменателе пишут 10^к, где к – число цифр справ от запятой.

Чтобы простую дробь обратить в десятичную дробь, числитель простой дроби делят её на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число. При обращении простой дроби в десятичную дробь может образоваться бесконечная десятичная дробь.

Проценты.

Процент – сотая часть числа. Если число принято за единицу, то 1% его составляет 0,01этого числа.

Выражение величины а в процентах другой величины b

Называется процентным отношением чисел а и b.

Если величина а составляет p% величины b,то

a= .

Типы задач на проценты:

1) Отыскание всего числа по заданной величине его процента;

2) Отыскание заданного процента от данного числа;

3) Отыскание процентного отношения двух чисел.

Пропорции

Пропорцией называется равенство двух отношений:

Члены a и b пропорции называются крайними c и d - средними.

Свойства пропорций:

1) Произведение её крайних членов равно произведению средних членов;

a d=b c

2) Каждый её крайний член равен произведению средних, делённому на другой крайний;

a= ; d=

3) Каждый её средний член равен произведению крайних, делённому на другой средний;

b= ; c=

4) В каждой пропорции можно менять местами или только средние члены, или только крайние, или и те и другие одновременно.

Задание !.

1. Выполнить действия:

1) 1

2) (6

3) 12

4) (0,5+

5) 45,09 :1,5-(2 ;

6) 0,364: ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14)

2. Найти:

1) 8% от20,4 т;

3) ;

3. Найти число, если

1) 42% его составляет 6,3;

2) 12% его составляет 30;

3) 45% его составляет 30;

4) 170% его составляет 510;

5) 3% его составляет 9,6;

6) 130% его составляет 6,5;

7) 6,2% его составляет 1,6.

4. Найти

1) 15% от 45,09:1,5-

2) 15% от ;

3) 37% от .

5. Найти неизвестный член пропорции:

1) 9 ;

2) 4х: ;

3) 2,5:0,125=0,5х:0,75;

4) 10:0,01= .

Комплексные числа.

Определение комплексного числа.

Итальянские математики Дж. Кордано и Р.Бомбелли, решая квадратные уравнения вида х²+а²=0,ввели в рассмотрение символ , так как не существует такого действительного числа, квадрат которого отрицателен. Петербургский математик Эйлер обозначил через i, тогда уравнение Х²+а²=0 имеет решения х = .

Комплексным числом называется выражение вида а+bi? где i²=-1.

Число а называется действительной частью, bi – мнимой частью,

i – мнимой единицей.

Два комплексных числа называются равными, если равны соответственно их действительные и мнимые части.

Комплексные числа с равными действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями называются комплексно-сопряжёнными.

Геометрически комплексное число а+bi можно представить точкой координатной плоскости с координатами а,в.

Плоскость, служащая для изображения множества комплексных чисел, называется комплексной плоскостью. Ось ОХ называется действительной осью, а ось ОУ – мнимой осью.

Из определения комплексно-сопряжённых чисел следует, что на комплексной плоскости они расположены симметрично относительно действительной оси.

Квадратное уравнение ах²+вх +с+0, для которого дискриминант отрицателен, будет иметь два комплексно -сопряжённых корня .

Пример: Решить уравнение 2х²-6х+9=0.

Находим: х= = = (1 .

Действия над комплексными числами.

Действия над комплексными числами определяются таким образом, что для частного случая действительных чисел эти операции совпадали с известными операциями над ними.

Пусть даны два комплексных числа: z₁= a₁+b₁i , z₂= a₂+b₂i.

Сумма комплексных чисел определяется:

z₁+ z₂ = (a₁+b₁i) + (a₂+b₂i) = (а₁ + а₂ ) + (b₁ + b₂)i.

Вычитание двух комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению:

z₁- z₂ = (a₁+b₁i) - (a₂+b₂i) = (а₁ - а₂ ) + (b₁ - b₂)i.

Умножение двух комплексных чисел определяетс

z₁ z₂ = (a₁+b₁i) (a₂+b₂i) =(а₁а₂ + b₁b₂ ) + ( а₁b₂+ b₁а₂) i.

Деление комплексных чисел определяется:

Z₁/Z₂=(a₁+b₁i)/(a₂+b₂i) = (a₁+b₁i)(a₂-b₂i) /(a₂+b₂i) (a₂-b₂i) =(а₁ а₂ + b₁ b₂ )/(a²+b²) +(a₂b₁-a₁b₂)/ (a²+b²).

Пример :

Даны числа 2+3i и 1-2i. Найти сумму, разность. произведение и частное этих чисел.

1) (2+3i) +( 1-2i) = 2+3i + 1-2i = 3+i

2) (2+3i) -( 1-2i) = 2+3i- 1+2i = 1+5i

3) (2+3i) ( 1-2i) = 2+3i -4i-6i²= 8 –i

4) (2+3i):( 1-2i) = (2+3i) ( 1+2i)/ (1-2i) ( 1+2i)=( 2+3i - 6+4i)/5 =- + i.

Задание 2.

Вариант1.

1.Решить квадратное уравнение: х²+2х+5=0

2. Даны числа: 17-6i; 3-4i.