Действия с простыми и десятичными дробями.

Раздел АЛГЕБРА

Москва 2013

Содержание.

Введение………………………………………………………………………………………… 5

Алгебра и арифметика.

1. Арифметика ………….……………………………………………………………… 6

1.1. Простые и десятичные дроби……………………….... 6

1.2. Действия с обыкновенными и десятичными дробями 7

1.3. Обращение десятичной дроби в обыкновенную дробь

и обыкновенной в десятичную………………………………….. 8

1.4. Проценты………………………………………………………………………. 8

1.5. Пропорции…………………………………………………………………… 9

Задание 1……………………………………………………………………………… 10

1.6. Комплексные числа………………………………………………………. 12

1.6.1. Определение комплексного числа …………………………. 12

1.6.2. Действия с комплексными числами………………………….13

Задание 2…………………………………………………………………………………. 14

2. Корни…………………………………………………………………………………….. 20

2.1. Определение корня……………………………………………………….. 20

2.2. Действия над корнями…………………………………………………… 20

2.3.Исключение иррациональность в знаменателе дроби.... 21

Задание 3………………………………………………………………………………… 22

3. Степени………………………………………………………………………………….. 34

3.1. Степень с действительным показателем……………………. 34

3.2. Свойства степеней……………………………………………………….. 34

Задание 4……………………………………………………………………………….. 35

4. Алгебраические выражения………………………………………………….. 46

4.1. Многочлены………………………………………………………………….. 46

4.2. Формулы сокращённого умножения……………………………. 47

4.3. Алгебраические дроби ………………………………………………….. 47

Задание 5………………………………………………………………………………….. 48

5. Логарифм ………………………………………………………………………………. 50

5.1. Определение логарифма…………………………………………….. 50

5.2. Свойства логарифмов…………………………………………………… 51

Задание 6………………………………………………………………………… 53

6. Основы тригонометрии………………………………………………………………… 63

6.1. Радианная мера угла………………………………………………………… 63

6.2. Тригонометрические функции……………………………………………64

6.3. Основные тригонометрические тождества. …………………… 66

6.4. Формулы приведения. ……………………………………………………… 67

6.5.Формулы суммы и разности двух углов……………………………… 67

6.6. Формулы двойного угла……………………………………………………… 68

6.7. Формулы половинного угла………………………………………………… 68

6.8.Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение………………………………………………………………………………………… 68

Задание 7. ………………………………………………………………………………… 68

7. Функции …………………………………………………………………………………………….. 69

7.1. Линейная функция ……………………………………………………………… 69

7.2. Квадратичная функция ……………………………………………………….. 70

7.3. Функция у= ……………………………………………………………………….. 71

Задание 8 ……………………………………………………………………………. 71

8. Уравнения и системы уравнений……………………………………………………… 72

8.1. Линейные уравнения с одной неизвестной ……………………… 73

8.2. Квадратные равнения ………………………………………………………….74

8.3. Рациональные уравнения …………………………………………………..74

8.4. Иррациональные уравнения ……………….…………………………… 75

8.5. Уравнения с модулем ………………………………………………………….77

8.6. Специальные виды уравнений ……………………………………………77

Задание 9…………………………………………………………………………….. 77

9. Неравенства, системы неравенств …………………………………………………….82

9.1. Рациональные неравенства ………………………………………………. 82

9.2. Неравенства, содержащие знак абсолютной величины…..82

9.3. Иррациональные неравенства ………………………………………… 82

9.4. Системы неравенств ………………………………………………………… 84

Задание 10 ………………………………………………………………………… 85

Литература……………………………………………………………………………………. 88

Введение.

Учебный материал представлен в виде основных содержательных линий:

- алгебраическая линия, включающая систематизацию и расширение сведений о числах, изучение новых и обобщение ранее изученных операций (возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, тригонометрические функции), изучение новых видов числовых выражений и формул, совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и прикладных задач;

- теоретико-функциональная линия, включающая систематизацию и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений в объёме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи.

-линия уравнений и неравенств, пересекающаяся с алгебраической и теоретико-функциональной линиями включающая развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований для решения уравнений, неравенств и систем.

Арифметика

Простые и десятичные дроби

Выражение , где p и q- целые числа, называется простой дробью. Число над чертой называется числителем дроби, число под чертой- её знаменателем.

Свойства дробей:

1). Если числитель дроби увеличить (уменьшить) в несколько раз, то дробь увеличится (уменьшится) во столько же раз.

2). Если знаменатель дроби увеличить (уменьшить) в несколько раз, то дробь уменьшится (увеличится) во столько же раз.

3). Дробь не изменится, если числитель и знаменатель одновременно увеличить (уменьшить) в несколько раз.

Деление числителя и знаменателя на общий множитель называется сокращением дроби.

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число называется расширением дроби.

Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной. Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называется неправильной дробью. При делении числителя на знаменатель неправильной дроби получается смешанное число.

Для сравнения дробей с разными числителями и знаменателями их предварительно приводят к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем нескольких дробей называется наименьшее общее кратное их знаменателей. (Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел называется число, делящееся на каждое из них).

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, находим НОК знаменателей дробей и берём его в качестве знаменателя каждой дроби. Числитель каждой дроби увеличится во столько раз, во сколько раз её знаменатель меньше общего.

Десятичная дробь - частный случай обыкновенной дроби, знаменатель которой есть целая степень числа 10. Десятичную дробь записывают в одну строку, отделяя в ней запятой столько цифр, сколько нулей в знаменателе.

Действия с простыми и десятичными дробями.

1) Сложение.

Дроби приводят к общему знаменателю и складывают полученные числители, подписывая под ними общий знаменатель.

.

2) Вычитание.

Дроби приводят к общему знаменателю и из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого.

.

3) Умножение.

Перемножают отдельно числители и знаменатели дробей. Первое произведение будет числителем дроби. а второе - знаменателем.

.

4) Деление.

Заменяют умножением на дробь, обратную делителю.

.

Без существенных изменений правила действий над целыми числами переносятся на десятичные дроби.

1) Сложение и вычитание.

Необходимо следить за тем, чтобы соответствующие разряды целых и десятичные разряды были записаны друг под другом.

2) Умножение.

Дроби перемножают как целые числа, затем в произведении справа отделяют запятой столько цифр, сколько десятичных знаков во всех сомножителях.

3) Деление.

Делят, как целые числа. Перед тем как снести в остаток первую цифру после запятой, ставят запятую и продолжают деление.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: