Оценка срочных аннуитетов
Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, а именно, по это поток, в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковые величине. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случае:
C1= C2= ··· =Cn= A
Как и в общем случае, выделяют два типа аннуитетов: постнумерандо и пренумерандо (рис. 4.10) .
Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.
Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться рассмотренными в п.4.5 вычислительными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены.
Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставке (r) предполагает оценку будущей стоимости аннуитета. Как следует из логики, присущей схеме аннуитета, наращенный денежный поток имеет вид:
A , A·(1+r) , A· (1+r)2 ,…, A· (1+r) n-1 ,
а формула (4.15) трансформируется следующим образом:
(4.20)
Входящий в формулу мультиплицирующий множитель представляет собой сумму членов геометрической прогрессии:
S=1·+ q + q2+ ··· + qn-1,
где q =1 – r (q≠1).
Умножив обе части этого уравнения на q, получим:
q· S=q + q2+ ··· + qn-1+ qn .
Вычтя одно уравнение из другого, получим
S – q S=1– qn .
Таким образом,
Отсюда находим, что
(4.21)
Экономический смысл мультиплицирующего множителя FM3(r,n)заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r,n)часто используется в финансовых вычислениях, и поскольку легко заметить, что его значения в общем виде зависят лишь от r и n, их можно табулировать. Значения множителей для различных сочетаний r и n приведены в приложении 3.
Пример
Вам предлагают сдать в аренду участок на три года и выбрать один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 млн.руб. в конце каждого года; б) 35 млн.руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам ?
Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при n = 3 и А = 10 млн. руб. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как минимум на условиях 20% годовых (например, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии со схемой, аналогичной схеме, представленной на рис. 4.6.
FV = A·FM3(20%, 3) = 10 · 3,640 = 36,4 млн.руб.
Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.
Общая постановка обратной задачи оценки срочного аннуитета постнумерандо также достаточно наглядна. В этом случае производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, с которого начинают отсчитываться равные временные интервалы, входящие в аннуитет. Схема дисконтирования денежного потока на примере вышеприведенной задачи с арендой участка, построенная по аналогии со схемой на рис. 4.7, представлена на рис. 4.11.
Экономический смысл сделанных расчетов состоит в следующем: с позиции текущего момента реальная стоимость данного аннуитета может быть оценена в 21,064 млн. руб.
Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо выводится из базовой формулы (4.16) и имеет вид:
(4.22)
Экономический смысл дисконтирующего множителя РМ4(r, n) заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r. Значения этого множителя также табулированы (см. приложение 3). В основу расчета табулированных значений дисконтирующего множителя заложена формула:
(4.23)
Так, для примера, представленного на рис. 4.11:
FM4(20%,3) = 2,106, поэтому: PVapst = 10 • 2,106 = 21,06 млн. руб.
Соответствующие расчетные формулы для аннуитета пренумерандо можно легко вывести из формул (4.18) — (4.23). Так, будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формулам:
FVapre = FVa pst · (1 +r) = A FM3(r,n)·(1+r). (4.24 )
или
(4.25)
Аналогично, приведенная стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формулам:
PVa pre = PVa pst · (1 + r ) = A FM4(r,n)·(1+r). (4.26 )
или
(4.27)
Из приведенных формул видно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается в финансовой сделке — постнумерандо или пренумерандо; содержание финансовой таблицы инвариантно к этому фактору. Однако при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой поступления денежных платежей.
Пример
Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 млн.руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счете по истечении трех лет?
В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого и предлагается оценить. В соответствии с формулой (4.24) найдем искомую сумму S:
S = 10 • (1 + 0,2) • FМЗ(20%, 3) = 10 • 1,2 • 3,640 = 43,68 млн. руб.
Многие практические задачи могут быть решены различными способами в зависимости от того, какой денежный поток выделен аналитиком. Рассмотрим простейший пример.
Пример
Вам предложено инвестировать 100 млн.руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 млн. руб.). По истечении пяти лет выплачивается дополнительно вознаграждение в размере 30 млн. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?
Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании денег в банк к концу пятилетнего периода на счете будет сумма:
F5= Р • (1 +r)5 = 100 • (1 + 0,12)5 = 176 млн. руб.
В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 млн.руб. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:
а) как срочный аннуитет постнумерандо с A = 20, n= 5, r = 20% и единовременное получение суммы в 30 млн. руб.;
б) как срочный аннуитет пренумерандо с A = 20, n = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 20 и 30 млн. руб. В первом случае на основании формулы (4.20) имеем:
S = 20 • FМЗ(12%,5) + 30 = 20 • 6,353 + 30 = 157,06 млн.руб.
Во втором случае на основании формулы (4.24) имеем:
S = 20 · FМЗ(12%,4) · 1,2 + 20 + 30 = 20 × 4,779 × 1,12 + 50 = = 157,06 млн.руб.
Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,06 млн. руб.), возврата доли от участия в венчурном проекте за последний год (20 млн. руб.) и единовременного вознаграждения (30 млн. руб.). Общая сумма составит, следовательно, 157,06 млн.руб. Предложение экономически нецелесообразно.
МЕТОД ДЕПОЗИТНОЙ КНИЖКИ
Можно дать иную интерпретацию расчета текущей стоимости аннуитета с помощью метода «депозитной книжки», логика которого такова.Сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов; при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшается. Как раз эта ситуация и имеет место в случае с аннуитетом. Текущая стоимость аннуитета — это величина депозита с общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы. Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга. Таким образом, погашение исходного долга осуществляется постепенно в течение всего срока действия аннуитета. Структура годового платежа постоянно меняется — в начальные периоды в нем преобладают начисленные за очередной период проценты; с течением времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается доля погашаемой части основного долга. Логику и счетные процедуры метода рассмотрим на простейшем примере.
Пример
В банке получена ссуда на пять лет в сумме 20000 дол. под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа.
Если обозначить за А величину искомого годового платежа, то данный финансовый контракт можно представить в виде следующей схемы (рис. 4.12).
Для лучшего понимания логики метода депозитной книжки целесообразно рассуждать с позиции кредитора. Для банка данный контракт представляет собой инвестицию в размере 20000 дол., т.е. отток денежных средств, что и показано на схеме. В дальнейшем в течение пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга. Так, поскольку в течение первого года заемщик пользовался ссудой в размере 20000 дол., то платеж, который будет сделан в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за год в сумме 2600 дол. (13% от 20000) и погашаемой части долга в сумме (А — 2600) дол. В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно: (20000—А + 2600). Отсюда видно, что с течением времени сумма уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает. Из схемы на рис. 4.12 видно, что мы имеем дело с аннуитетом постнумерандо, о котором известна его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины годового платежа А можно воспользоваться формулой (4.22)
20000 = FM4(13%,5) • А= 3,517 •А, т.е. А = 5687 дол.
Динамика платежей показана в табл. 4.1. Отметим, что данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в последней строке найдена балансовым методом.
Таблица 4.1
Метод депозитной книжки
(дол.)
Год
| Остаток ссуды на начало года
| Сумма годового платежа
| В том числе
| Остаток на конец года
| проценты
| погашенная
|
|
|
| за год
| часть долга
|
| 1 20000 5687 2600
| 3087 16913
| 2 16913 5687 2199
| 3488 13425
| 3 13425 5687 1745
| 3942 9483
| 4 9483 5687 1233
| 4454 5029
| 5 5029 5687 658
| 5029 0
| Данная таблица позволяет ответить на целый ряд дополнительных вопросов, представляющих определенный интерес для прогнозирования денежных потоков. В частности, можно рассчитать общую сумму процентных платежей, величину процентного платежа в k - м периоде, долю кредита, погашенную в первые к лет, и т.п.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|