Сделай Сам Свою Работу на 5

НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ





В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возраста­нием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дробле­нии годового интервала. Из формулы (4.7) следует:

lim (1 +r/m) k · m = е r · k при m à ∞,

 

так как lim (1 + 1/m)m = епри mà +∞,

где е — одна из важнейших постоянных математического анализа, относящая­ся к группе так называемых замечательных пределов; трансцендентное число е = 2,718281... широко используется в элементарной математике (при построении логарифмических и показательных функций), а также в теории вероятностей и математической статистике (при построении функций распределения).

Таким образом, при непрерывном начислении процентов в пределах одного года используется следующая базовая формула:

F1 = Р · е r(4.12)

Пример

Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов на­числения процентов за один год, если исходная сумма Р = 1000 руб. и r = 10%.

 

Р Частота начисления Fn Наращение
Базисное цепное
  Ежегодное (m = 1) Полугодовое (m = 2) Квартальное (m = 4) Ежемесячное (m = 12) Ежедневное (m = 365) Непрерывное (m = ∞) 1100,00 1102,50 1103,81 1104,71 1105,16 1105,17 –– +2,50 +3,81 +4,71 +5,16 +5,17 –– +2,50 +1,31 +0,90 +0,45 +0,01

Приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимо­сти между частотой начисления процентов и накопленной суммой; последняя графа таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается.



Графически изменение накапливаемой суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид (рис. 4.4).

 

Ежегодное Полугодовое Непрерывное

начисление начисление начисление

Рис. 4.4. Различные варианты начисления процентов

 

Сравнительная характеристика и интерпретация приведенных графиков достаточно очевидны, вместе с тем эти графики позво­ляют наглядно представить влияние частоты начисления процен­тов. При дискретном наращении каждая «ступенька» характери­зует прирост основной суммы в результате очередного начисле­ния, причем величина «ступеньки» все время возрастает. В рамках одного года одной «ступеньке» на левом графике соответствуют две «ступеньки» на среднем графике меньшего размера, однако в сумме они превышают первую «ступеньку» однократ­ного начисления. Таким образом, ордината точки, соответст­вующей концу трехлетнего периода, на среднем графике будет выше, чем на левом. Еще более быстрым темпом идет наращение при непрерывном начислении, что и показывает график справа.



ЭФФЕКТИВНАЯ ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

Различные виды финансовых контрактов могут предусматри­вать различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для обеспечения сравнительного анализа эф­фективности таких контрактов необходимо выбрать некий пока­затель, который был бы универсальным для любой схемы начис­ления. Таким показателем является эффективная годовая про­центная ставка r e , обеспечивающая переход от Pк F n при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов.

Общая постановка задачи может быть сформулирована сле­дующим образом. Задана исходная сумма Р, годовая процентная ставка (номинальная) r, число начислений сложных процентов m. Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует вполне определенное значение наращенной ве­личины F 1. Требуется найти такую годовую ставку re, которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т.е. m = 1. Иными словами, схемы {Р , F1 , r, m > 1} и {Р, F1 , re , m = 1} должны быть равносильными.



Из формулы (4.7) следует, что в рамках одного года:

F 1 = P · (1 + r/m)m .

Согласно определению эффективной годовой процентной ставки:

F1 =P + P · re = P · ( 1 + re)

отсюда:

re = (1 + r/m)m– 1.(4.13)

Из формулы (4.13) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при m = 1. Именно ставка re является критерием эффективности финансовой сделки и может быть ис­пользована для пространственно-временных сопоставлений.

 

Пример

Предприниматель может получить ссуду а) либо на условиях ежеквартального начисления процентов из расчета 75 % годовых, б) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 80 % годовых. Какой вариант более предпочтителен?

Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки — чем она выше, тем больше уровень расходов. По формуле (4.13):

вариант (а) r e = (1 + 0.75/4)4 — 1 = 0,99,

вариант (б) r e = (1 + 0,80/2)2 — 1 = 0,96.

Таким образом, вариант (б) является более предпочтитель­ным для предпринимателя. Необходимо отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель — эффективная ставка, а она, как следует из формулы (4.13), зависит лишь от номиналь­ной ставки и количества начислений.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычай­но важно для финансового менеджера, поскольку принятие реше­ния о привлечении средств, например, банковской ссуды на тех или иных условиях, делается чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой процентной ставки, которая в этом случае харак­теризует относительные расходы заемщика. В рекламных проспе­ктах непроизвольно или умышленно внимание на природе ставки обычно не акцентируется, хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может весьма сущест­венно отличаться от эффективной ставки. Рассмотрим простей­ший пример.

Пример

Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при различной частоте начисления процентов, если номинальная ставка равна 10%. По формуле (4.13):

 

m
re 0,10 0,1025 0,10381 0,10471 0,10516 0,10517

 

Различие между двумя ставками может быть гораздо более разительным при заключении некоторых специальных кредитных договоров, например, при оформлении кредита на условиях до­бавленного процента.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.