|
|
УРАВНЕНИЯ ЛАГРИНЖА И КЛЕРОЕсли уравнение Такие дифференциальные уравнения Особый интеграл, если он существует, можно получить исключив
Уравнение Лагранжа
где
Это уравнение линейное относительно
Уравнения (6.1) и (6.2) будут параметрически определять общий интеграл. Исключив из них параметр
Уравнение Клеро
является частным случаем уравнения Лагранжа. Оно имеет общий интеграл
Уравнение вида Уравнение
Уравнение
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Однородное линейное дифференциальное уравнение
где
где Если коэффициенты
1) Каждому вещественному корню 2) Каждой паре мнимых корней
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основное свойство. Пусть даны уравнения:
и пусть
Метод неопределенных коэффициентов. При постоянных 1) 2) 3) В этих случаях частное решение Исключения составляют особые случаи, когда: 1) Метод вариации произвольных постоянных. Более общим приемом решения неоднородного линейного выражения является метод Лагранжа, или метод вариации произвольных постоянных. Если
Отсюда
Частное решение однородного уравнения (при 1) Каждому вещественному корню 2) Каждой паре мнимых корней
Неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера решается методом вариации постоянных. ЗАДАЧИ 1.Построить изображение поля направлений, определяемого уравнением
2.Построить изображение полей направлений, определяемых каждым из уравнений:
1)
3.Построить изображение семейства 1) окружностей 4.Решить уравнения:
1) 3) 5) 5.кривая проходит через точку 6.Определить и построить кривую, проходящую через точки (1;1), для которой отрезок 7.Найти ортогональные траектории семейства гипербол 8.Определить кривую, радиус – вектор любой точки которой равен отрезку нормали между кривой и осью 9.Определить линию, если площадь, ограничена осями координат, этой линией и произвольной ее ординатой, равна 1/3 площади прямоугольника, построенного на конечной точки кривой. 10.Найти форму зеркала, отражающего все лучи, выходящие из данной точки, параллельно данному направлению.
Указание. Рассматривая плоское сечение зеркала, примем в нем данную точку за начало координат, а данное направление – за ось 11.Решить дифференциальные уравнения:
1) 3) 5) 12.Определить кривую, проходящую через точку 13.Решить дифференциальные уравнения:
1) 3) 5) 7) 14. Найти интегрирующие множители:
1) 3)
15. Решить уравнения, не содержащее явно одной из переменных:
1)
16.Решить уравнение:
17.Найти кривую, касательные к которой образуют с осями координат треугольник постоянной площади, равной 18.Найти кривую, касательной к которой отсекает на осях координат отрезки, сумма которых равна 19.Определить кривые, у которых радиус кривизны вдвое больше длинны нормали. 20.Определить кривые, у которых радиус кривизны равен длине нормали. 21.Решить уравнения:
1) 2) 3) 4)
22.В интервале 23.Решить уравнения:
1) 3) 24.Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Под действием одного груза пружина удлиняется на 25.Решить задачу 24 с учетом сопротивления, пропорционального скорости движения. 26.Решить уравнения:
1) 3) 5) 27.Единица массы движения по оси 28.Следующие уравнения решить методом вариации произвольных постоянных:
1) 3)
29.Цилиндр радиуса 30.Полый железный шар с радиусами поверхностей Указание. Скорость падения температуры
31. Решить уравнения:
1) 3) 5) 32.Найти частные решения дифференциальных уравнений: 1) 2) 3)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
второй степени относительно 
, то она имеет два решения относительно 
и 
, непрерывных относительно 
и 
в некоторой области, а геометрически определяет в любой точке 
этой области два направления интегральных кривых.
и частных интегралов, иногда имеют еще особый интеграл, не содержащий произвольной постоянной и в то же время не получающийся из общего ни при каком значении постоянной.
из уравнений 
и 
или же исключив 
из общего интеграла 
и 
. Геометрический особый интеграл определяет огибающую семейства интегральных кривых.
(6.1)
интегрируется следующим образом:
Решив его получим
(6.2)
(если это возможно), получим общий интеграл в форме 
(6.3)
и особый, получающийся исключением параметра 
решается последовательным 
- кратным интегрированием правой части. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате - 
, не содержащее 
приводится к виду
(8.1)
- функции 
(8.2)
- линейно независимые частные решения уравнений (8.1), а 
- произвольные постоянные.
уравнения (8.1) постоянны, то частные решения 
(8.3)
уравнения (8.3) кратности 
соответствует 
кратности 
- неоднородное, (9.1)
- однородное, (9.2)
- общее решение уравнения (9.1) будет:
(9.3)
находится методом неопределенных коэффициентов в следующих случаях:
- многочлен;
- корень характеристического уравнения кратности 
; 2) 
есть корень характеристического уравнения кратности 
- независимые частные решения уравнения 
, то решение уравнения 
по методу Лагранжа находится в виде 
, где 
и 
- функции 
) можно найти в виде 
, где 
- постоянное число. Для нахождения 
, с помощью окружностей, вдоль которых 
Нарисовать приближенно интегральную кривую, проходящую через начало координат.
2) 
3) 
2) парабол 
и составить их дифференциальные уравнения.
2)
4)
при
, 
- произвольная ордината кривой. Определить кривую из условия, что площадь 
.
, отсекаемый на оси 
касательной к кривой в любой ее точке, равен квадрату абсциссы точки касания.
.
. Касательная к искомой кривой в точке 
образует равные углы с 
и осью 
, 2) 
4)
при
6)
, если расстояние от начала координат до касательной в любой точке кривой равно абсциссе этой точки.
2) 
4) 
6) 
8) 
2) 
4) 
2) 
.
.
при 
,
определить кривую, касающуюся оси 
2) 
4)
2)
4)
6)
имеем 
и скорость 
.
2) 
4) 
кг плавает в воде при вертикальном положение оси. Найти период колебания, которое получается, если цилиндр немного погрузить в воду, а затем отпустить. Сопротивление движению принять приближенно равным нулю.
и наружной 
. Определить температуру внутри на любом расстоянии 
и при 
.
в проводнике со стационарным распределением температуры обратно пропорционально площади поперечно сечения.
2) 
4) 
6) 
при 
при 
при