КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

1 234 5

Пусть поверхность задана уравнением ; возьмем на ней точку

Уравнения нормали к поверхности этой точки будут:

(10.1)

Уравнение касательной плоскости:

(10.2)

В уравнениях (10.1) и (10.2) - текущие координаты нормали или касательной плоскости.

Вектор назовем нормальным вектором поверхности.

Если на поверхности есть точка, в которой то она называется особой. В такой точке нет ни касательной, ни плоскости, ни нормали к поверхности.

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЕЙ.

ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ. ГРАДИЕНТ

Уравнение определяет в каждой точке некоторой области, которая называется полем скаляра . Вдоль каждой из линий где - постоянные, скаляр остается постоянным и меняется только при переходе точки с одной линии на другую. Эти линии называются изолиниями (изотермами, изобарами и т.п.) или линиями уровней.

Уравнение определяет поле скаляра и в некоторой части трехмерного пространства. Изоповерхностями, или поверхностями уровней будут:

…

Пусть точка перемещается по прямой со скоростью Тогда скаляр будут изменятся со скоростью где - нормальный вектор поверхности, а - единичный вектор направления 1.

Производная

называется производной от функции в данном направлении .

Градиентом скаляра называется вектор

Градиент есть вектор скорости наибыстрейшего изменения скаляра .

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Необходимые условия. Функция может иметь экстремум только в точках, в которых и эти точки называются критическими.

Достаточные условия. Обозначим через и значения производных

в критической точке

Тогда если:

1. то при , при

2. то экстремума нет;

3. то экстремум может быть, а может и не быть (сомнительный случай).

Условный экстремум. Чтобы найти экстремум функции при условии, что и связаны уравнением составим вспомогательную функцию

Координаты экстремальной точки должны удовлетворять трем уравнениям:

Из которых и находятся и

Задачи

Построить геометрическое изображение однозначной функции , определяемой уравнением , положенной в области и отрицательной вне ее. Указать линию ее разрыва.
Показать, что уравнение определяет как бесчисленное множество однозначных функций и , из которых две непрерывны. Указать область определения всех этих функций, положительной в области и отрицательной вне ее.
Доказать, что если то
указать области определения функций:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

5. Показать, что уравнение определяет как бесчисленное множество функций и , из которых две непрерывны. Указать область определения всех этих функций и построить геометрическое изображение положительной непрерывной функции. Привести пример однозначной, но разрывной функции , определяемой тем же уравнением

6. Доказать, что если , то

7. Доказать, что если , то

8. Доказать, что если то

9. Доказать, что если то

10. Катеты прямоугольного треугольника, измеренные с точностью до 0,1 см, оказались равными 7,5 см и 18 см. Определить абсолютную погрешность при вычислении гипотенузы.

11. При деформации цилиндра его радиус увеличился с 20 см до 20,5 см, а высота уменьшилась со 100 см до 98 см. найти приближенно изменение объема по формуле

12. Найти значение и для функции , когда изменяется от 2 до 2,1; а - от 1 до 0,9.

13. Подсчитать приблизительно изменения функции когда изменяется от 5 до 4,5; а - от 3 до 3,3.

14. Найти из уравнений:

15. Доказать, что если , где , то

16. Доказать, что если где , то

17. Пусть . Выразить и через и , если 1)

18.

Найти угловой коэффициент касательной к кривой.

19. Доказать, что если , то

20. Показать, что дифференциальному уравнению удовлетворяет неявная функция , определяемая уравнением (конических поверхностей)

21. Найти из уравнений:

22. Показать, что функция при любых дважды дифференцируемых функциях и удовлетворяет дифференциальному уравнению

23. Пусть Найти и .

24. Найти частные производные второго порядка функции

25. Доказать, что если , то

26. Определить области расположения, точки пересечения с осями координат, особые точки кривых и построить кривые:

1) 3)

2) 4)

27. Найти точки пересечения с осями координат, особую точку и симптому кривой и построить кривую.

28. Определить области расположения, особые точки и асимптоты кривых:

1) 4)

2) 5)

3) 6) .

29. Найти огибающую семейства парабол, имеющих ось симметрии, параллельную оси , и проходящих через точки при различных .

30. Отрезок постоянной длинны скользит своими концами по координатным осям. Найти огибающую семейства таких отрезков.

31. Найти огибающую семейства окружностей, проходящих через начало координат и имеющих центр на параболе

32. Из начала координат выпускается снаряд с начальной скоростью под углом к оси . Найти огибающую семейства траекторий при различных .

33. Найти огибающую 1) семейства прямых при постоянном ; 2) семейства прямых 3) семейства кубических парабол

34. Написать уравнения касательной плоскости к поверхности:

1) в точке (1;1;3),

2) в точке

3) в точке

35. Показать, что касательная плоскость к поверхности в точке на ней определяется уравнением

36. Найти углы с осями координат нормали к поверхности в точке (2;2;0).

37. Найти расстояние начала координат от касательной плоскости к коноиду в точке

38. Найти производную функции в точке (1;1;1) в направлении и найти в той же точке и его длину. Построить поверхности уровней.

39. Пусть Найти производную в направлении, составляющим с осями координат равные углы, в любой точке и точке (1;2;1).

40. Построить поверхности уровней скаляра , определить на поверхности, проходящей через начало координат, и построить его в трех точках этой поверхности, в которых и .

41. Пусть Найти и его длину.

42. Построить изоповерхности поля функции и найти производную от в точке в направлении радиус – вектора этой точки.

43. 1) В эллипс вписать равнобедренный треугольник с основанием, параллельным большой оси, так, чтобы площадь треугольника была наибольшей.

2) Ось расположена на границе двух сред. По какому пути должен пройти луч света из точки в точку , чтобы затратить на прохождение этого расстояния наименьшее время