ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ПОЛНЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

1. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ

ИЗОБРАЖЕНИЕ

Определение. Переменная называется однозначной функцией переменных и , если каждой паре значений и в некоторой области их изменений поставлено в соответствие одно значение . Функциональную зависимость от и записывают в виде

. (1.1)

Геометрическое изображение. Уравнение (1) геометрически определяет некоторую поверхность. Пара значений и определяет на плоскости точку , а - аппликату соответствующей точки на поверхности. Поэтому говорят, что есть функция точки , и пишут .

Предел функции , если разность - есть бесконечно малая, когда при любом способе приближения к (например, по любой линии).

Непрерывность функции. Функция называется непрерывной в точке если, Иначе говоря, функция непрерывна в некоторой точке , если

1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Производная функции по , найденная в предложении, что остается постоянным, называется частной производной по и обозначается или .

Аналогично определяется и обозначается частная производная по :

1. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде

(3.1)

где при . Тогда выражение есть главная часть полного приращения ; она называется полным дифференциалом функции и обозначается :

(3.2)

Полагая в формуле (3.2) равным 1) ; 2) , найдем , . Поэтому

(3.3)

Из (3.1) следует что

(3.4)

т.е. при достаточно малых и полное приращение функции приближенно равно ее полному дифференциалу.

Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет в этой точке полным дифференциалом.

1. ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Если то называется сложной функцией от . При этом

(4.1)

Если функция и дифференцируемы.

Если , где , если функции и дифференцируемы, то

(4.2)

ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ

Уравнение , имеющее решение , определяет в окрестности переменную как непрерывную функцию при условии, что производная и непрерывна в некоторой окрестности точки .

Символично это равенство можно записать так:

Аналогично и т.д.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

Чтобы выражение где и - дифференцируемые функции и , было полным дифференциалом , необходимо и достаточно выполнение условия

Для нахождения из условий и получим

Выписав из первого предложения все известные члены, а из второго – члены с , недостающие в первом, получим функцию .

Чтобы выражение где - дифференцируемые функции от и , было полным дифференциалом , необходимо и достаточно выполнение условий:

Для нахождения имеем:

Выписав из первого выражения все известные члены, а из второго и третьего – недостающие члены с и , получим функцию .

Нахождение функции по ее полному дифференциалу называется интегрированием полного дифференциала.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Точка кривой называется особой, если в этой точке и .

Угловой коэффициент касательной в точке находится из уравнения где - значения производных и в этой особой точке.

При этом возможно три случая:

1. - две касательных; точка называется узлом.

2. - нет касательной; точка изолирована.

3. - или изолированная точка, или точка возврата, самосоприкосновения существует одна общая касательная к двум ветвям прямой.

Чтобы в третьем, сомнительном, случае решить вопрос окончательно, нужно узнать, имеются ли точки кривой в сколь угодно малой окрестности исследуемой точки.

ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ПЛОСКИХ КРИВЫХ

Кривая называется огибающей семейства кривых , если:

1. она касается каждой кривой семейства;

2. каждая ее точка является точкой ее касания с кривой семейства, отличной от нее самой.

Огибающая семейства кривых , если она существует, находится исключением параметра из уравнений

и

Может, однако, случится, что полученная этим способом кривая будет не огибающей, а геометрическим местом особых точек кривых семейства.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: