ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ

12 3 4 5

ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРЕРЫВНОЙ

МАТЕМАТИКИ

Под редакцией А.К. Шлепкина

Оглавление

Переменные величины и функции…………………………………………………….4

Пределы последовательности и функции. Бесконечно малые и бесконечно большие………………………………………………………………………………….4

Свойства пределов. Раскрытие неопределенности вида и ……………………...5

Предел отношения при …………………………………………………………………………………..…5

Сравнение бесконечно малых………………………………………………………….5

Непрерывность функции……………………………………………………………….6

Асимптоты……………………………………………………………………………....6

Число …………………………………………………………………………………..7

Производные алгебраических и тригонометрических функций…………………….7

Производная сложных функций……………………………………………………….7

Касательная и нормаль к плоской кривой…………………………………………….8

Случай недифференцируемости непрерывной функции………………………………………………………………………………….8

Производные логарифмических и показательных функций…………………………9

Производные обратных тригонометрических функций……………………………...9

Производные гиперболических функций……………………………………………..9

Производные высших порядков……………………………………………………….9

Производная неявной функции………………………………………………………...9

Дифференциал функции………………………………………………………………10

Параметрические уравнения кривой…………………………………………………10

Задачи…………………………………………………………………………………..11

Неопределенный интеграл. Интегрирование разложением………………………...15

Интегрирование подстановкой и непосредственное………………………………..16

Интегрирование по частям……………………………………………………………16

Интегрирование тригонометрических функций…………………………………….17

Интегрирование рациональных алгебраических функций…………………………17

Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций………….17

Интегрирование некоторых трансцендентных функций…………………………...18

Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки…….18

Вычисление определенного интеграла………………………………………………19

Вычисление площадей………………………………………………………………...20

Объем тела вращения………………………………………………………………….21

Длина дуги плоской кривой…………………………………………………………..21

Площадь поверхности вращения……………………………………………………..22

Несобственные интегралы…………………………………………………………….22

Среднее значение функции…………………………………………………………...23

Формула трапеции и формула Симпсона……………………………………………23

Неопределенный интеграл. Задачи…………………………………………………...24

Определенный интеграл. Задачи……………………………………………………...25

Частные производные, полные дифференциалы и их приложения………………..27

Частные производные первого порядка……………………………………………...28

Полный дифференциал первого порядка…………………………………………….28

Производные сложных функций……………………………………………………..29

Производные неявных функций……………………………………………………...29

Частные производные и полные дифференциалы высших порядков……………...30

Интегрирование полных дифференциалов…………………………………………..30

Особые точки плоских кривых……………………………………………………….30

Касательная плоскость и нормаль к поверхности…………………………………...31

Скалярное поле. Линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении. Градиент………………………………………………………………..32

Экстремум функции двух переменных………………………………………………32

Задачи…………………………………………………………………………………..33

Понятие о дифференциальном уравнении…………………………………………...37

дифференциальном уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории…………………………………………………………...38

Дифференциальном уравнение первого порядка: однородное, линейное, Бернулли………………………………………………………………………………..39

Дифференциальном уравнение, содержащие дифференциалы произведения и частного………………………………………………………………………………...39

Дифференциальном уравнении первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнение Лагринжа и Клеро………………………………………...40

Дифференциальном уравнении высшего порядка, допускающие понижение порядка…………………………………………………………………………………41

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами……………………………………………………………………….42

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами……………………………………………………………………….42

Линейные дифференциальные уравнения Эйлера…………………………………..43

Задачи…………………………………………………………………………………..44

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

§1. Переменные величины и функции.

1^о. Отрезки и интервалы. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < b, называется интервалом и обозначается (a, b). Множество чисел x, удовлетворяющих неравенствам a £ x £ b, называется отрезком и обозначается [a, b].

Эквивалентные неравенства (при a > 0)

x² < a², или –a < x < a

определяют интервал, симметричный относительно нуля.

2^о. Переменные величины и функции. Если каждому значению переменной x поставлено в соответствие одно число, то переменная y, определяемая совокупностью этих чисел, называется однозначной функцией x. Переменная x называется при этом аргументом, а данная совокупность значений аргумента – областью определения функции.

То, что y есть функция x, символически записывают в виде y = f(x), или y = F(x), или y = (x) и т.п. Символ f(x) или F(x) и т.п. обозначает закон соответствия переменных x и y, в частности, он может означать совокупность действий или операций, которые нужно выполнить над x, чтобы получить соответствующее значение y.

§2. Пределы последовательности и функции.

Бесконечно малые и бесконечно большие.

1^о. Числовая последовательность. Пусть каждому натуральному числу n = 1,2,3,… по некоторому закону поставлено в соответствие число x_n. Тогда говорят, что определена последовательность чисел x₁,x₂,x₃…или, короче, последовательность {x_n} = { x₁,x₂,x₃…}. Отдельные числа последовательности {x_n} называются её элементами. Говорят ещё, что переменная x_n пробегает значение последовательности {x_n}.

2^о. Предел последовательности (предел переменной). Число, а называется пределом последовательности {x_n} или пределом переменной x_n (обозначается x_n ® а), если для всякого > 0 найдётся зависящее от число n₀ такое, что | x_n – а| < для всех натуральных n > n₀. Интервал (a - , a + ) называется - окрестностью числа а (или точки а). Таким образом, x_n ® а обозначает, что для всякого > 0 найдётся такое число n₀, что для всех n > n₀числа x_n будут находиться в - окрестности числа а.

3^о. Предел функции. Пусть функция f(x) определена в некоторой - окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Говорят, что число b является пределом функции f(x) при x ® а (пишут f(x) ® b при x ® а или lim _x_{® а}f(x) = b), если для любого > 0 существует зависящее от число > 0 такое, что | f(x) - b| < при 0 < |x-a| < . Аналогично lim _x_{® а}f(x) = b, если для всякого > 0 существует зависящее от число N такое, что | f(x) - b| < при |x| > N. Употребляется также запись lim _x_{® а}f(x) = ¥, которая обозначает, что для всякого числа A > 0 существует зависящее от A число такое, что |f(x)| > A при 0 < |x-a| < .

Если x → a и при этом х < а то пишут x → a – 0; аналогично, если x → a и при этом х > а, то пишут x → a + 0. Числа f(a - 0) = lim_x_→_{a – 0} f(x) и f(a + 0) = lim_x_→_{a + 0} f(x) называются соответственно пределом слева функции f(x) в точке а и пределом справа функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x → a необходимо и достаточно, чтобы было f(a - 0) = f(a + 0). Вместо x → 0 – 0 и x → 0 + 0 пишут x → – 0 и x → + 0 соответственно.

4^оБесконечно малые. Если lim_x_→_aa(х) = 0, т.е. если |a(х)| < e при 0 < |х - а| < d(e), то функция a(х) называется бесконечно малой при x → a. Аналогично определяется бесконечно малая a(х) при x → ¥.

5^оБесконечно большие. Если для любого сколь угодно большого числа N существует такое d(N), что при 0 < |х - а| < d(N) выполнено равенство |f(x)| >N, то функция f(x) называется бесконечно большой при x → a. Аналогично определяется бесконечно большая f(x) при x → ¥.

§3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей вида и

Предел постоянной равен самой постоянной.

^{если и}^{существуют.}

если и существуют и

Если для всех значений в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, , функции и равны и одна из них имеет придел при , то и вторая имеет тот же предел.

Это свойство применяется при раскрытии неопределённостей вида и .

Например, при любых , кроме . По свойству .

§4. Предел отношения при .

Если угол выражен в радианах, то

§7. Сравнение бесконечно малых.

Определения. Пусть при функция и являются бесконечно малыми. Тогда:

I. Если то называется бесконечно малой высшего порядка относительно .

II. Если (конечен и отличен от ноля), то называется бесконечно малой -го порядка относительно .

III. Если то и называются эквивалентными бесконечно малыми. Эквивалентность записывается так: .

Свойства эквивалентных бесконечно малых:

а) Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.

б) Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высшего порядка, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.

Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак мы применяем как для обозначения эквивалентности, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.

§8. Непрерывность функции.

Определение. Функция называется непрерывной при , если она определена в некоторой окрестности a и

Это определение содержит такие четыре условия непрерывности:

1) должна быть определена в некоторой окрестности ;

2) должны существовать конечные пределы и ;

3) эти пределы (слева и справа) должны быть одинаковыми;

4) эти пределы должны быть равны .

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке внутри отрезка, а на его границах и .

Элементарные функции: степенная , показательная , логарифмическая, тригонометрические и им обратные, а также их сумма, произведение, частное непрерывны при всяком , при котором они имеют определенное значение.

Разрывы функции. Функция имеет разрыв при , если она определена слева от , но в точке не соблюдено хотя бы одно из условий непрерывности различают два основных типа разрыва.

1) Разрыв I рода – когда существуют конечные пределы и , т.е. когда выполнено второе условие непрерывности и не выполнены все остальные (или хотя бы одно из них).

2) Разрыв II рода – когда слева или справа равен

Например, функция имеет при разрыв II рода. Все дробные функции, знаменатель которых при равен 0 , а числитель не равен 0, имеют при разрыв II рода. Функция так же имеет при разрыв II рода, так как но

§9. Асимптоты.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при ее удалении по кривой в бесконечность.

I. Если то прямая есть асимптота кривой

Например, кривая имеет асимптоту .

II. Если в правой части уравнения кривой y = f(x) можно выделить линейную часть y = f(x) = kx + b + a(x) так, что оставшиеся часть a(x)→ 0, когда x → ± ∞, то прямая y = kx + b есть асимптота кривой. Примеры 1) кривая у = имеет асимптоту y = x + 1 (и асимптоту x = 0); 2) кривая имеет асимптоту y = 0.

III. Если существуют конечные пределы или и или есть асимптота.

§10. Число e.

Числом e называется предел

Это число иррациональное и приближенно равно e = 2,71828… Логарифмы с основанием e называются натуральными и обозначаются

Десятичный логарифм:

ПРОИЗВОДНАЯ И ДЕФФЕРЕНЦИАЛ

§1. Производные алгебраических и тригонометрических функций.

.Определения. Производной функции в точке x называется предел

(1)

Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемой в точке x; при этом она оказывается обязательно непрерывной, в этой точке.

Если же предел (1) равен (или ), то будем говорить, что функция имеет в точке x бесконечную производную, однако при дополнительном условии, что функция в этой точке непрерывна.

Производная обозначается y’ или f’(x), или или Нахождение производной называется дифференцированием функции.

.Основные формулы дифференцирования.

1) (c)’ = 0; 2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9)

10) 11)

§2. Производная сложной функции.

Если, а то y называется функцией от функции или сложной функцией от x. Тогда

или (1)

Формулы предыдущего параграфа примут теперь общий вид:

1) 2) 3) 4)

5) 6)

§3. Касательная и нормаль к плоской кривой.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке кривой равен значению производной функции в точке :

(1)

Это число называют иногда наклоном кривой в точке Уравнение касательной к точке на кривой:

(2)

Уравнение нормали:

(3)

где определяется формулой (1). Отрезки называются соответственно подкасательной и поднормалью, а длины отрезков и - длинами касательной и нормали.

§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции.

Угловая точка. Точка кривой называется угловой, если в этой точки производная не существует, но существует левая и правая различные производные: и . Из угловой точки выходят два касательных луча с наклонами и .

Точка возврата с вертикальной касательной. Точка называется точкой возврата с вертикальной касательной, если в этой точке производная не существует, но существует левая и правая бесконечные производные разного знака ( и ) Такая точка является частным случаем угловой. Из нее выходит один вертикальный касательный луч или, можно считать, что из нее выходят два слившихся касательных луча.

Точка перегиба с вертикальной касательной. Точка называется точка перегиба с вертикальной касательной, если в ней существует бесконечная производная или . В такой точке существует вертикальная касательная.

В точках и функция не имеет производной; в точке она имеет бесконечную производную. Во всех трех точках функция непрерывна, но недифференцируема.

§5. Производные логарифмических и показательных функций.

Основные формулы:

§6. Производные обратных тригонометрических функций.

;

§7. Производные гиперболических функций

1°. Определения. Выражения , и их отношения называются соответственно гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом и обозначаются

, , ,

2°. Свойство гиперболических функций:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

§8. Производные высших порядков

Пусть мы нашли для функции ее производную . Производная от этой производно называется производной второго порядка функции и обозначаются или или . Аналогично определяется и обозначаются

Производная третьего порядка

Производная четвёртого порядка

Производная n-го порядка

§9. Производные неявной функции

Если управление , неразрешенное относительно , определяет как однозначную функцию , то называется неявной функцией . Чтобы найти производную этой неявной функции, нужно обе части уравнения продифференцировать по , рассматривать как функцию от . Из полученного уравнения найдем искомую производную . Чтобы найти , нужно уравнение дважды продифференцировать по и т.д.

§10. Дифференциал функции

Если функция дифференцируема в точке , т.е. имеет в этой точке конечную производную , то , где ; отсюда

. (1)

Главная часть приращения функции, линейная относительно , называется дифференциалом функции и обозначается

(2)

Положив в формуле (2) , получим , и поэтому

(3)

формула (3) верна и в том случае, если есть функция новой переменной t.

Из (1) следует, что , т.е. при достаточно малом приращение функции приближено равно ее дифференциалу.

В части, для линейной функции имеем: .

§11. Параметрические уравнения кривой

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями и . Обозначая точками производные по параметру, найдем:

Задачи

1. Построить график функции:

на отрезке [-2,5];

2. Построить графики функции:

1). ; 2). ;

3. Найти область определения вещественных значений функций:

1). ; 2). ;

4. Доказать что lim_n_→_¥0.666…6 = , составив разности ; ; …; .

5. Пусть a_n – внутренний угол правильного n – угольника. Доказать, что lim_n_→_¥ a_n = p.

6. На продолжении отрезка АВ = а справа взята точка М на расстоянии ВМ=x. Найти .

Найти пределы:

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. Капля испаряется так, что её радиус стремится к 0. Определить порядки бесконечно малых поверхности и объёма капли относительно её радиуса.

14. Определить порядки бесконечно малых: 1). ; 2).sin2x-sinx относительно бесконечно малой x.

15. Доказать, что при x→0: 1) arctgmx » mx; 2) .

16. Указать точку разрыва функции , найти lim_n_→-2-0 y, lim_x_→-2+0 y,lim_x_→_¥ и построить график по точкам x = -6, -4, -3, -1, 0, 2.

17. Найти точки разрыва и построить графики функций: 1) ; 2) .

18. Сколько однозначных функций задано уравнением x² + y² = 4? Определить из них: 1) две непрерывные на отрезке ; 2) ту из них, отрицательна на отрезке и положительна для всех остальных допустимых значений x. Построить график и указать разрывы последней функции.