Сделай Сам Свою Работу на 5

Следствия из преобразований Лоренца





1. Если события в системе отсчета происходят одновременно, но в разных точках пространства , то в другой инерциальной системе отсчета они происходят в разное время, т.е. одновременность событий нарушается .

2. Длительность событий в разных инерциальных системах отсчета будет различной. Так, если в системе в одной и той же точке с координатой происходят в моменты времени и два каких либо события (рождается элементарная частица и потом распадается), и между этими событиями промежуток времени равен , то в системе промежуток времени не равен . Время, отсчитанное по часам, связанным с телом, называют собственным временем. Если систему отсчета свяжем с движущимся со скоростью относительно названной системы отсчета телом, то промежуток собственного времени равен

Из последнего выражения видно, что собственное время меньше времени, отсчитанного по часам, движущимся относительно тела.

3. Длина тел в разных системах отсчета различна. Сравним длину стержня в инерциальных системах отсчета и .

Пусть – длина стержня в системе и – длина стержня в системе . Если мы применим преобразования Лоренца, то имеем



, следовательно

Длина движущегося стержня оказывается меньше той, которой обладает стержень в состоянии покоя (рис.7).

 

рис.7

Релятивистский импульс.При больших скоростях импульс тела выражается формулой ; ; , где – масса покоя тела; – масса тела, движущегося со скоростью v.

 

– скорость движения его относительно инерциальной системы отсчета .

Релятивистское выражение для энергии.Свободная частица обладает энергией

;

–скорость света в вакууме.

– энергия покоя.

Разность энергии Е и энергии покоя составляет энергию движения, т.е. кинетическую энергию

 

 

Пример1.Колесо вращается с постоянным угловым ускорением

. Через после начала движения полное ускорение точек обода колеса . Найти радиус колеса.

Дано: ; ;

;

.

Найти: .

Рисунок 1.

Решение. Полное ускорение точек обода .

Отсюда . (1.1)

Нормальное ускорение .

Так как движение равнопеременное ( , ),

то .

В нашем случае и .

Таким образом .

Тангенциальное ускорение связано с угловым



. (1.2)

Тогда . (1.3)

Подставим формулы (1.2) и (1.3) в формулу (1.1):

.

Отсюда .

Подставляя заданные численные значения величин, получим

.

Пример 2. Молот массой ударяет по небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне. Масса наковальни . Определить

к. п. д. удара молота при данных условиях. Удар считать неупругим. Полезной в данном случае является энергия, пошедшая на деформацию куска железа.

Дано: ; т .

Найти: .

Решение. По определению

(2.1)

В нашем случае затраченная работа равна кинетической энергии молота перед ударом

, (2.2)

где – скорость молота непосредственно перед ударом по железу.

Полезная же работа по закону сохранения энергии равна разности между кинетической энергией молота до удара и кинетической энергией системы – молот + наковальня – после удара.

. (2.3)

Массой небольшого куска железа пренебрегаем. Для определения скорости молота и наковальни после удара воспользуемся законом сохранения импульса.

В нашем случае имеем

.

В скалярном виде

.

Отсюда .

Подставляя это выражение в формулу (2.3), получим

. (2.4)

Подставим формулы (2.4) и (2.2) в исходную формулу (2.1)

.

Подставим численное значение величин

; .

Пример 3.Через неподвижный блок массой перекинут шнур, к концам которого подвешены грузы массами и .

Определить силы натяжения шнура и по обе стороны блока во время движения грузов, если массу блока можно считать равномерно распределенной по ободу.

Дано: ; ; .

Найти: , .

Решение. Два тела и движутся поступательно. Воспользуемся вторым законом Ньютона

.

Для первого тела имеем

. Рисунок 2.

В скалярном виде (выбираем положительным направление движения вверх)



. (3.1)

Для второго тела

.

Выбираем положительным направление движения вниз

. (3.2)

Мы учли, что .

Третье тело – блок – вращается.

Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения

.

В нашем случае

.

Считая положительным направление вращения по часовой стрелке, получаем

.

Учитывая, что

; ; ; ,

получаем ,

то есть .

Согласно третьему закону Ньютона с учетом невесомости шнура

и .

Таким образом

(3.3)

Итак, получили систему трех уравнений с тремя неизвестными: и .

,

,

.

Сложив, соответственно, левые и правые стороны уравнений, находим

.

Отсюда

. (3.4)

Подставляя формулу (3.4) в первое уравнение системы, находим

.

После подстановки численных значений

(н).

Соответственно, второе уравнение системы с учетом формулы (3.4) примет вид

.

(н).

Пример 4.На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом , стоит человек. Масса платформы , масса человека . Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью

относительно платформы.

Дано: ;

;

;

.

Найти: .

 

Рисунок 3.

 

Решение. Воспользуемся законом сохранения момента импульса

.

В нашем случае ,

так как в начале ни человек, ни платформа не двигались.

В скалярном виде, считая положительным направление движения человека, получим

. (4.1)

Моменты инерции человека и платформы относительно оси вращения, соответственно, равны

; . (4.2)

Угловая скорость человека относительно Земли есть

и так как ,

то . (4.3)

Подставим формулы (4.3) и (4.2) в формулу (4.1)

.

Отсюда .

Подставляем численные значения

.

 

Пример 5.Вагон массой движется на упор со скоростью

. При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на . Определить максимальную силу сжатия буферных пружин и продолжительность торможения.

Дано: т ;

; .

Найти: и .

Решение. При сжатии пружин сила сжатия определяется их силой упругости ,

где – величина сжатия; – коэффициент жесткости пружин.

Соответственно, искомая сила максимального сжатия

. (5.1)

По закону сохранения энергии кинетическая энергия вагона при остановке перейдет в потенциальную энергию сжатия пружин

.

Отсюда .

Подставляя выражение для « » в формулу (5.1), получим

.

Вычисляем .

Для нахождения времени сжатия пружин используем то, что под действием сил упругости смещение вагона определяется гармоническим законом

,

а скорость вагона соответственно

.

В начальный момент сжатия было

,

.

Отсюда

; . (5.3)

При остановке через имеем

,

.

Отсюда

. (5.4)

. (5.5)

Подставляя в формулу (5.4) выражение (5.3) с учетом формулы (5.5) получим .

Окончательно .

.

Пример 6.На концах стержня массой 1 кг и длиной 40 см укреплены одинаковые грузы массами 400 г по одному на каждом конце. Стержень с грузами колеблется около оси, проходящей через точку, удаленную на 10 см от одного из концов стержня. Определить период колебаний стержня.

Дано: ;

;

;

.

Найти: .

 

Рисунок 4.

Решение. Период колебаний физического маятника (а это – любое тело, колеблющееся около оси, не проходящей через центр тяжести) определяется формулой

, (6.1)

где – расстояние от оси колебаний до центра тяжести маятника. В нашем случае

. (6.2)

– общая масса маятника .

. (6.3)

– ускорение свободного падения.

– момент инерции маятника относительно оси колебаний

. (6.4)

Моменты инерции грузиков, как материальных точек, равны

; . (6.5)

Моменты инерции стержня находим, используя теорему Штейнера-Гюйгенса .

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен и, значит,

. (6.6)

Подставляя формулы (6.5) и (6.6) в выражение (6.4) находим

.

И, подставляя это выражение вместе с формулой (6.3) в выражение (6.1), окончательно получаем

.

Вычисляем .

.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.