Динамика материальной точки

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 Следующая

Ф И З И КА

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Казань – 2015

Раздел I. Физические основы механики

Механическое движение – изменение с течением времени положения тела относительно других тел.

Материальная точка – материальное тело, размерами которого можно пренебречь.

Кинематика – изучает движение тел, не рассматривая причины, которые вызывают или изменяют это движение.

Динамика – изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. При таком движении можно ограничиться рассмотрением одной точки тела, центра масс тела.

Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения.

В кинематике движение материальной точки описывается с помощью системы уравнений:

или в векторной форме ,

где x, y, z – координаты материальной точки, – ее радиус-вектор (рис. 1).

рис. 1

Траекториея движения - линия, описываемая материальной точкой в пространстве при своем движении.

Основными кинематическими величинами являются:

Перемещение – вектор, соединяющий начальное и последующее положение материальной точки. На рис. 1 – перемещение из положения 1 в положение 2.

Путь – длина траектории.

Скорость – векторная величина, определяющая быстроту перемещения тела во времени.

Мгновенная скорость– векторная величина, равная . Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

Средняя скорость – векторная величина, равная отношению приращения радиус-вектора к промежутку времени : .

Ускорение – векторная величина, характеризующая изменение скорости тела со временем, и равная первой производной от скорости по времени:

Среднее ускорение за некоторый промежуток времени : , где – изменение скорости за .

Ускорение можно представить в виде векторной суммы двух слагаемых (рис. 2)

рис. 2

Первое слагаемое характеризует изменение скорости по модулю и называется тангенциальной составляющей (касательной) ускорения:

Второе слагаемое характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальным ускорением: , где R – радиус кривизны (если материальная точка движется по окружности, то R – радиус окружности).

Для прямолинейного равномерного движения: , и путь

Для прямолинейного равнопеременного движения: , , где – скорость тела в момент времени ; а>0, если тело движется равноускоренно, и а<0 при равнозамедленном движении тела.

При равномерном движении материальной точки по окружности тангециальное ускорение , нормальное - .

Вращательное движение описывается угловой скоростью и угловым ускорением .

Угловая скорость – векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по времени и характеризует быстроту изменения угла поворота(рис.3): .

рис. 3

Направление вектора угловой скорости определяется правилом правого винта.

Угловое ускорение – векторная величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени:

Связь линейных кинематических величин с угловыми:

где R – радиус окружности.

Динамика материальной точки

В основе динамики лежат три закона Ньютона.

Первый закон: тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не изменит это состояние.

Второй закон: ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально его массе: – при действии нескольких сил.

Векторная величина называется импульсом или количеством движения материальной точки.

Третий закон: две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по модулю, но противоположными по направлению: . Направлены силы вдоль линии, проходящей через материальные точки.

Законы сохранения.

Закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел полный импульс сохраняется

Замкнутая механическая система – система тел, на которую не действуют внешние силы. Если масса системы не зависит от ее скорости, то импульс системы можно выразить через скорость центра масс системы.

Центр масс (центр инерции) системы материальных точек (тела) есть точка С, положение которой определяется как

где – масса и радиус-вектор – ой точки материальной точки системы; m – масса системы.

Скорость центра масс

Импульс системы равен

Уравнение движения центра масс системы

Если правая часть (результирующая всех внешних сил) равна нулю, то центр масс движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например, масса ракеты уменьшается в результате истечения газов, образующихся при сгорании топлива.

В этом случае уравнение движения

– результирующая внешних сил;

– реактивная сила, здесь – скорость истечения газов относительно ракеты.

Количественной мерой механического движения и взаимодействия тел является механическая энергия.

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии

Кинетическая энергия материальной точки массой , движущейся со скоростью , определяется формулой

В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, следовательно, и его кинетическая энергия неодинакова.

Потенциальная энергия – часть механической энергии системы тел, определяемая их расположением и характером сил взаимодействия между ними.

– потенциальная энергия тела, поднятого

на высоту h.

– потенциальная энергия упруго деформированного тела, – коэффициент жесткости пружины (коэффициент упругости).

Изменение механического движения тела вызывают силы, действующие на него со стороны других тел. Силы совершают работу. Элементарная работа , совершаемая силой на элементарном перемещении тела равна скалярному произведению силы на перемещение.

рис.4

a – угол между направлениями (рис.4). Полная работа, совершаемая силой на участке траектории от точки 1 до точки 2.

Скорость совершения работы определяется физической величиной, называемой мощностью

Так как , то мощность можно представить в виде скалярного произведения силы на скорость точки.

Сила, работа которой не зависит от формы траектории движения тела, называется консервативной. А поле действия таких сил – потенциальным.Например, сила тяжести, сила упругости являются консервативными силами. Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории движения тела, то такая сила называется диссипативной. Сила трения является диссипативной силой.

Система тел (частиц), между которыми действуют только консервативные силы, называется консервативной. Для консервативной системы тел полная механическая энергия сохраняется со временем, при этом один вид механической энергии переходит в другой вид (например, кинетическая в потенциальную) и носит название закона сохранения энергии в механике

Механика твердого тела

В динамике вращательного движения твердого тела пользуются понятиями момента инерции , момента силы и момента импульса . Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси есть скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от нее до оси вращения.

Моментом инерции тела относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс элементарных частей тела (точек) на квадрат их расстояний до этой оси

В случае непрерывного распределения масс сумма заменяется интегралом

Применяя эти формулы, можно вычислить моменты инерции для некоторых тел, которые приведены ниже в таблице.

Если задана ось вращения, которая не проходит через центр инерции, то момент инерции относительно этой оси можно определить на основе теоремы Штейнера

– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс;

a – расстояние между осями.

– момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции его относительно оси, проходящей через центр тела и параллельно произвольной оси плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Тело	Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии	mR²
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии	mR²
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через середину	ml²
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец	ml²
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара	mR²

При вращательном движении момент инерции есть мера инертности тела.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса – вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы, на силу (рис.5).