Сделай Сам Свою Работу на 5

Применение в компьютерной графике

Благодаря простоте задания и возможности удобно манипулировать формой, кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике для моделирования гладких линий. Поскольку кривая полностью определяется своей выпуклой оболочкой из опорных точек, последние могут быть отображены и использоваться для наглядного управления формой линии. Кроме того аффинные преобразования кривой (перенос, масштабирование, вращение) также легко могут быть осуществлены путём применения трансформаций к опорным точкам. Наличие выпуклой оболочки значительно облегчает задачу о точках пересечения кривых Безье: если не пересекаются выпуклые оболочки, то не пересекаются и сами кривые.

Наибольшее значение имеют кубические кривые Безье. Кривые высших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целей используются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Для того, чтобы обеспечить гладкость линии в месте соединения двух кривых, смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной линии. В программах векторной графики наподобие Adobe Illustrator или Inkscape подобные фрагменты известны под названием «путей» (path).

Контрольные вопросы

1. Как определяется параметрическая кубическая кривая9

2. Укажите свойства параметрической кубической кривой

3. Напишите уравнение кривой в форме Фергюсона

4. Каким образом можно управлять формой кривой в форме Фергюсона?

5. Напишите уравнение кривой в форме Безье

6. Через какие опорные точки проходит кривая Безье?

7. Напишите базисну матрицу кубической кривой Безье

8. Как используются кривые Безье в компьютерной графике?

 

Представление кривых. Сплайны

Можно строить достаточно гладкие кривые и поверхности с использованием полиномов. Допустим, что мы хотим построить поверхность в виде графика функции z=z(x, y). Линия y=const на этой поверхности будет представлена линией z=z(x), она будет проходить через последовательность точек (x0,z0), (xi,zi), ..., (xn,zn),



x0<x1<...<xn.

Наша цель - провести через эти точки составную кривую f(x), имеющую следующие свойства:

- на каждом подынтервале xi-1<= x<= xi, i=1,2,.., n, функция f(x) является кубическим полиномом.

- её первые и вторые производные непрерывны в узлах

Полученная гладкая кривая называется кубическим сплайном. Термин сплайн возник по аналогии: это название чертежного инструмента - тонкой металлической линейки, которая может изгибаться так, чтобы проходить через заданные точки. Физически такая кривая минимизирует энергию внутренних напряжений. Математически - имеет минимальную среднеквадратичную кривизну, т.е. она наиболее гладкая. Сплайны имеют много приложений в конструировании криволинейных форм. Однако они имеют и некоторые ограничения:

- локальное изменение влечет за собой вычисление заново всего сплайна;

- могут возникать проблемы при аппроксимации прямой, имеющей разрывы вторых производных (например, сопряжения прямой линии и дуги окружности);

- с точки зрения эстетики не всегда приемлемы, т.к. кривизна поверхности, сконструированной с помощью сплайнов изменяется иногда неравномерно, что приводит к искажениям (например, причудливые искажения предметов, отраженных от кузова автомобиля).

Первое ограничение можно устранить с помощью В-сплайна.

В-сплайн

Общая форма полученной в результате кривой:


На этом рисунке сплайн продолжен от его конечных точек xi-4, xi прямыми линиями, идущими вдоль оси X. Получается кубический сплайн на любом числе отрезков, который не равен 0 на четырех из них. Такая функция называется В-сплайном (или фундаментальным сплайном). Про него говорят, что он имеет минимальный носитель (носитель - это число отрезков, на которых сплайн отличен от 0). Кубический сплайн полностью определяется множеством узлов, на которых он определен, и только одной заданной величиной. В более общем виде В-сплайн Mmi(x) порядка m (или степени m-1) на данном множестве везде равен 0, кроме m последоваельных отрезков xi-m< x < xi. Принято фиксировать амплитуду В-сплайна некоторым стандартным образом.

Часто удобно для вычислений использовать нормализованный В-сплайн Nmi(x), связанный с Mmi(x) соотношением:

Nmi(x)=(xi - xi-m)Mmi(x).

Любой кубический сплайн на множестве узлов 0,1, 2, .., n может быть выражен через кубические В-сплайны в виде:


где сi скалярные коэффициенты. Если имеется множество векторов r0, r1, …, rn , то можно использовать их:

Т.к. имеется (n+1) векторных коэффициентов, то необходим набор из (n+1) В-сплайнов. Последняя формула, для , является уравнением кривой, образованной кубическими В-сплайнами.

Свойства

Некоторые простейшие свойства следуют из тождества:

При u=0 следует:

Из этого следует, что если r0, r1, .., rn - вершины некоторой замкнутой ломанной, то кривая, построенная на основе В сплайна, начинается в r0 и ее касательная в этой точке имеет направление (r1 - r0). Аналогичное утверждение верно и для другого конца. Главное преимущество этого сплайна заключается в том, что изменение одной из вершин влечет за собой изменение только четырех отрезков кривой. Далее, мы также можем построить кривую, аппроксимирующую ломанную с любым желаемым числом сторон. Отрезок сплайна всегда лежит в выпуклой оболочке:


Важным следствием этой выпуклой оболочки является вырождение ее в прямую линию, если 4 последовательные вершины ломанной коллинеарны, значит соответствующий сегмент кривой должен быть прямолинейным. Имеются ещё 2 полезных факта:

- кривая проходит вблизи средней точки каждой стороны, за исключением 1-ой и последней точками;

- при k=2, .., n-2 кривая проходит через точки:

Эти точки, как показано на рисунке, лежат на 1/3 расстояния от rk на прямой, соединяющей rk с серединой отрезка между rk-1 и rk+1.

 

Рассмотрим построение кубического сплайна. Пусть нам даны две соседние точки через которые проведём кубический полином, но у полинома - 4 коэффициента, следовательно нужно ещё два дополнительных условия или точки. Для этого прихватим ещё две соседние точки.


Чем более плавной мы хотим видеть линию, тем сложнее пройти точно через точки.

Если в формуле x = q3, то достаточно плавности 3. Гладкость диктуется физическими задачами.

Эта линия в каждой точке имеет систему:

x(t) y(t) если t = 0 =< Pi t = 1 =< Pi+1 t - параметр по которому перебегаем от точки к точке.
x(t) = ((a3 + a2)t + a1)t + a0 y(t) = ((b3 + b2)t + b1)t + b0  

 

a3 = (-xi-1+ 3xi - 3xi+1 + xi+2)/6

a2 = (xi-1 - 2xi+ xi+1)/2

a1 = (-xi-1 + xi+1)/2

a0 = (xi-1 + 4xi+ xi+1)/6

Точки b3 - b0 расписывают также, но вместо x подставляют у.

Между Pi и Pi+1 точки а и b не меняются.

Есди после последней точки указать первую точку, то система замкнёт контур.

Достоинства В - сплайна: между точками коэффициенты постоянны; локаьное изменение не влечет за собой вычисление заново всего сплайна.

Недостатки: могут возникатьпроблемы при аппроксимации прямой, имеющей разрывы вторых производных (например, сопряжения прямой линии и дуги окружности); с точки зрения эстетики не всегда приемлемы, т.к. кривизна поверхности, сконструированной с помощью сплайнов изменяется иногда неравномерно, что приводит к искажениям (например, причудливые искажения предметов, отраженных от кузова автомобиля).

Следствия

1. Кривые отходят от точек.

xi: x(0) = a0 = (xi-1+ 4xi + xi+1)/6

xi+1: x(1) = a3 + a2 + a1 + a0 = (xi + 4xi+1 + xi+2)/6

точки усредняют своё влияние.

2. Изменение одной вершины ведёт к изменению только четырёх соседних отрезков.

3. Геометрическая интерпретация В - сплайна: так как сумма коэффициентов = 1, а коэффициенты положительны, то мы получаем средне взвешенную точку для четырёх соседей, то есть первоначальный отрезок будет находиться внутри выпуклой сплайновой оболочки.

Формула расчёта:

1/6хi-1 + 2/3xi + 1/6xi+1 = 2/3xi + 1/3[1/2(xi-1 + xi+1)]

4. Кратность вершины усиливает её притяжение.

В острые углы линия не успевает забегать. В этом случае увеличивают кратность вершины. Порядок сплайна влияет на конфигурацию - увеличение порядка ведёт к большему спрямлению.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение кубического сплайна

2. Математический и физический смысл сплайна

3. Недостатки сплайна

4. Напишите уравнение кривой в форме В-сплайнов

5. Для чего применяется нормализованный В-сплайн

6. Свойства В-сплайна

7. Укажите условия применения разных форм представления кривой.

8. Укажите интерпретацию геометрических матриц Безье и В-сплайнов.

 



©2015- 2019 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.