Представление кривых. Параметрические кубические кривые

Параметрическая кубическая кривая задается тремя уравнениями для координат х, у, z с параметром t, степень которого не выше трех:

При аппроксимации реальных кривых последние разбиваются на небольшие сегменты, каждый из которых представляется в форме параметрической кривой.

Параметрические кубические кривые - это представление наинизшего порядка, который обеспечивает непрерывность положения и наклона сегментов кривой и прохождение через заданные концевые точки сегментов.

Для представления кубических кривых используются методы Эрмита, Фергюсона, Безье и В-сплайнов.

Метод Фергюсона

В методе Фергюсона кривые и поверхности определяются с помощью параметрического представления, а не в декартовых координатах.

Сегменты кривых описываются параметрическими уравнениями вида

r(u) = a₀+a₁u+a₂ u²+a₃ u³.

где 0 £ u £ 1.

Задаются значения r и dr/du на обеих концах отрезка. Следовательно,

a₀=r(0),

a₀+a₁+a₂+a₃ =r(1),

a₁=dr(0)/du,

a₁+2a₂+3a₃= dr(1)/du.

Отсюда

a₀=r(0),

a₁=dr(0)/du,

a₂=3(r(1)-r(0))-2dr(0)/du-dr(1)/du,

a₃=2(r(0)-r(1))+dr(0)/du+dr(1)/du.

Прямой подстановкой этих формул можно выразить r через исходные значения

r(u) = r(0) (1-3u²+2u³)+r(1) (3u²-2u³)+ dr(0)/du (u-2u²+u³)+ dr(1)/du (-u²-u³).

Производные dr(0)/du и dr(1)/du пропорциональны единичным касательным Т(0) и T(1), следовательно, dr(0)/du=α₀ Т(0), dr(1)/du=α₁ Т(1).

Изменяя значения α₀ и α₁ можно управлять формой проектируемой кривой.

Кривые Безье́

Кривые Безье́ были разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье (Bézier) из автомобилестроительной компании "Рено" и Полем де Кастелье (de Casteljau) из компании "Ситроен", где применялись для проектирования кузовов автомобилей.

Несмотря на то, что открытие де Кастелье было сделано несколько ранее Безье (1959), его исследования не публиковались и скрывались компанией как производственная тайна до конца 1960-х.

Впервые кривые были представлены широкой публике в 1962 году французским инженером Пьером Безье, который, разработав их независимо от де Кастелье, использовал их для компьютерного проектирования автомобильных кузовов. Кривые были названы именем Безье, а именем де Кастелье назван разработанный им рекурсивный способ определения кривых (алгоритм де Кастелье).

Впоследствии это открытие стало одним из важнейших инструментов систем автоматизированного проектирования и программ компьютерной графики.

Кривая Безье — параметрическая кривая, задаваемая выражением

где — функция компонент векторов опорных вершин, а - базисные функции кривой Безье, называемые также полиномами Бернштейна.

,

где n — степень полинома, i — порядковый номер опорной вершины

Виды кривых Безье

При n = 1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точки P₀ и P₁ определяют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:

.

Квадратная кривая Безье (n = 2) задаётся 3-я опорными точками: P₀, P₁ и P₂.

.

Квадратные кривые Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF файлах.

Кубические кривые

В параметрической форме кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:

.

Четыре опорные точки P₀, P₁, P₂ и P₃, заданные в 2-х или 3-мерном пространстве определяют форму кривой.

Линия берёт начало из точки P₀ направляясь к P₁ и заканчивается в точке P₃ подходя к ней со стороны P₂. То есть кривая не проходит через точки P₁ и P₂, они используются для указания её направления. Длина отрезка между P₀ и P₁ определяет, как скоро кривая повернёт к P₃.

В матричной форме кубическая кривая Безье записывается следующим образом:

,

где называется базисной матрицей Безье:

В современных графических системах, таких как PostScript, Metafont и GIMP для представления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых.

Линейные кривые

Параметр t в функции, описывающей линейный случай кривой Безье, определяет где именно на расстоянии от P₀ до P₁ находится B(t). Например, при t = 0,25 значение функции B(t) соответствует четверти расстояния между точками P₀ и P₁. Параметр t изменяется от 0 до 1, а B(t) описывает отрезок прямой между точками P₀ и P₁.

Квадратные кривые

Для построения квадратных кривых Безье требуется выделение двух промежуточных точек Q₀ и Q₁ из условия чтобы параметр t изменялся от 0 до 1:

· Точка Q₀ изменяется от P₀ до P₁ и описывает линейную кривую Безье.

· Точка Q₁ изменяется от P₁ до P₂ и также описывает линейную кривую Безье.

· Точка B₀ изменяется от Q₀ до Q₁ и описывает квадратную кривую Безье.

Кривые высших степеней

Для построения кривых высших порядков соответственно требуется и больше промежуточных точек. Для кубической кривой это промежуточные точки Q₀, Q₁ и Q₂, описывающие линейные кривые, а также точки R₀ и R₁, которые описывают квадратные кривые:

Для кривых четвётой степени это будут точки точки Q₀, Q₁, Q₂ и Q₃, описывающие линейные кривые, R₀, R₁ и R₂, которые описывают квадратные кривые, а также точки S₀ и S₁, описывающие кубические кривые Безье:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: