Уравнение прямой в пространстве
Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α1 и α2. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений
(1)
- общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде.
Пусть l – прямая. Тогда ее положение в пространстве однозначно определяется заданием ее направляющего вектора =(m,n,р) и точкой М0(х0,у0,z0), через которую прямая проходит. Возьмем произвольную точку М(х,у,z) l. Тогда и, значит,
Переходя к координатам, получим
x - x0 = tm, y - y0 = tn, z - z0 = tp
- параметрические уравнение прямой.
Выражая параметр t, получим
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
М0(х0 y0,z0) параллельно вектору =(m,n,р).
Последнее уравнение равносильно
- общее уравнение прямой.
Пусть M1{x1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2) – точки прямой. Тогда
- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой.
Взяв произвольную точку М0(х0,у0,z0) прямой получаем
- каноническое уравнение прямой.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями
Обозначим = = (х2-x1,y2-у1,z2-z1), =(m1,n1,р),
= (m2,n2,р2).
1) если прямые совпадают, то все три вектора , , коллинеарны.
2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а вектор им не коллинеарен.
3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , , не коллинеарны, и все три вектора компланарны.
4) ecли прямые скрещиваются, то векторы , , некомпланарны.
Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности, прямых l1 и l2 равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .
Следовательно,
- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.
m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0
- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.
Если прямые l1 и l2 пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо ( ^, ) либо (- ^, ). Следовательно,
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Расстояние d от точки M1(x1,у1,z1) до данной прямой , проходящей через точку M0(х0,у0,z0) с направляющим вектором = (m, n, p) определяется так .
Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
Пусть плоскость α проходят через прямые l1 и l2, заданные соответственно уравнениями:
, (2)
Обозначим М2(x2,y2,z2), =(m1,n1,р1), =(m2,n2,p2) и М(х,у,z) произвольная точка плоскости α
Тогда
- уравнение плоскости, проходящей через две прямые.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Пусть прямые l1 и l2, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α1 и α2, где плоскости α1 и α2 одновременно параллельны векторам и , и проходят соответственно через прямые l1 и l2
Тогда
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями
, α: Ax + By + Cz + D = 0.
1) прямая l лежит в плоскости α, если
Am + Bn + Ср = 0,
Аx0 + Ву0 + Cz0 + D = 0.
2) прямая l параллельна плоскости α, если
Am + Bn + Ср = О,
Аx0 + Ву0 + Cz0 + D ≠ 0.
3) прямая l пересекает плоскость α если
Am + Вn + Ср 0.
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l1 на плоскость α
Тогда и
.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Парабола
Определение:Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.
Уравнение параболы принятo записывать в следующем виде:
y2 = 2px , p>0 (1)
- каноническое уравнение параболы.
Свойства параболы непосредственно следуют из свойств уравнения:
1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна
2.Парабола проходит через начало координат.
3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс.
4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине.
Точка F( ;0) называется фокусом параболы, прямая - директрисой.
Величина р называется фокальным параметром или просто параметром параболы.
Эллипс
Определение.Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а (а>0), большая, чем расстояние между фокусами.
Для составления уравнение эллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ
проходила через фокусы F1 и F2, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F1F2.
Обозначим F1F2 = 2с. Тогда F1(-с,0), F2(c,0). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда MF1+ MF2= 2а, а>с.
Так как , и уравнение принимает вид:
. (2)
Пусть координаты точки М1(х1,у1)удовлетворяют уравнению (2).
Обозначим r1 = F1M1, r2 = F2M2 — фокальные радиусы точек М1 М2. Тогда , , значит, r1+r2=2a.
Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса.
1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.
2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(-а,0), А2(а,0), В1(0,b), В2(0,-b), называемых вершинами эллипса.
3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х= а, у = b.
4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.
По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А1А2 и его длина 2а называются большой осью эллипса, а отрезок B1B2 и его длина 2b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА1 с длиной а и отрезок ОВ1 с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр эллипса.
Если а=b, то получаем каноническое уравнение окружности
Уравнения х = acost, у = bsint -
параметрические уравнения эллипса.
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число
Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса
совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.
.
Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.
Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:
r1=а+εх, r2=а—εх
Гипербола
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а, а>0, меньшая чем расстояние между фокусами.
Выберем декартову прямо-угольную систему координат ОХY так, как показано на рисунке. Тогда F1F2=2с, F1(—с,0), F2(c,0).
Для произвольной точки М(х,у), принадлежащей гиперболе, имеем МF1—MF2= 2а, а<с.
Обозначим с2-а2=b2, тогда каноническое уравнение гипрболы имеет вид:
(3)
По свойствам уравнения (3) исследуем свойства гиперболы:
1. Координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.
2. Если у = 0, то x = а. Если х = 0, то уравнение (3) решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А1(—а,0), А2(а,0), называемых вершинами гиперболы.
3. Так как
,
то |х| а. Поэтому гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x= а.
4. Если x возрастает от а до + , то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.
5.
- наклонные асимптоты гиперболы.
По полученным свойствам строим гиперболу. Отрезок А1А2 и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, а отрезок ОА1 и его длина а — действительной полуосью. Отрезок В1В2 и его длина 2b — мнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ1 и его длина b— мнимая полуось. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.
x2—у2=а2
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина
.
Так как для гиперболы с > а, и следовательно, чем меньше ε, тем более сжата гипербола к оси ОХ.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|