Линейная зависимость векторов.
Пусть дана система векторов
(1)
и α1, α2,...αn - действительные числа. Тогда векторы вида
называются линeйнoй комбинaциeй вeктоpов cиcтeмы (1).
Определение. Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует такая линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.
= (2)
и хотя бы одно из чисел .
Определение. Система (1) называется линейно независимой, если равенство (2) возможно тогда и только тогда, когда все числа αi=0.
Определение. Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), т.е.
= ,
то говорят, что вектор линейно выражается через векторы системы (1).
Теорема. Для того чтобы векторы системы (1) были линейно зависимы (n>1), необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них линейно выражался через остальные.
Следствие. Если векторы системы (1) линейно независимы, то ни один из них нельзя линейно выразить через остальные. В частности, ни один из них не может быть нулевым.
Теорема. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Следствие. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.
Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить по любым двум неколлинеарным векторам и этой плоскости, т.е. представить в виде:
причем это разложение единственно.
Теорема. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Следствие. Три вектора линейно независимо тогда и только тогда, когда они некомпланарны.
Теорема. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарны векторам , и , т.е. представить в виде:
причем это разложение единственно.
Tеорема. Любые четыре вектора линейно зависимы.
Определение.Говорят, что два лежащих в плоскости α линейно независимых вектора и (любые три линейно независимых вектора , и ) образуют на этой плоскости (в пространстве) базис, если любой вектор, лежащий в этой плоскости α (любой вектор пространства), может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и ( , , ).
Итак:
1) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарнах векторов образует базис на этой плоскости;
2) любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.
Координаты на прямой.
Прямая l, на которой задана точка 0, называемая началомкоординат, задан единичный вектор , называемый ортом, называется координатнойосью.
Пусть М - произвольная точка прямой. Тогда вектор кол-
линеарен вектору и, значит, . Вектор называется радиус-вектором точки М, а число х называется координатойточки М на координатной оси l (обозначается: М(х)) или координатой радиус-вектора (обозначается: =(х)).
Так как - единичный вектор, то каждой точке М на оси l поставлено в соответствие вполне определенное действительное число – ее координата.
Обратно, для каждого действительного числа х найдется единственная точка М оси l, координата которой равна х. Таким образом, положение любой точки координатной оси однозначно определяется заданием координаты этой точки.
Координаты на плоскости.
Пусть на плоскости α заданы две координатные оси ОХ и OY с
неколлинеарными ортами и cоответственно. Тогда тройка (О, , ) называется афинным репером, или афинной системой координат плоскости α.
Точка 0 называется началом кооpдинат, векторы и —базисными векторами. Если М – произвольная точка на плоскости α, то
Числа х и у называются афинными координатами точки М в системе (0, , ), причем х называется абсциссой, а у – ординатой
(записывается: М(х,у)). Вектор называется радиус-вектором точки М, числа х, у - координатами вектора (записывается: =(х,у)).
Афинная система координат (0, , ) обозначается также OXY. Ось ОХ называется осью абсцисс, ось OY - осью ординат.
Теорема. Пусть = , где
.
Тогда
Следствие 1. Пусть даны точки А (х1,y1) и В (х2,у2). Тогда
Следствие 2. Два вектора = (х1,у1) и = (х2,у1) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, то есть
.
Афинная система координат (0, , ), в которой орты и взаимно ортогональны, называется декартовой, или прямоугольной системой координат. В этом случае орты и обозначаются соответственно и .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|