Приложения линейной алгебры в произврдственно-экономических задачах международной торговли

При анализе закупок товаров различных видов используются понятия собственного числа и собственного вектора матрицы.

Предположим, что n стран расходуют х1,х2…хn бюджетов своих стран. Рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть аij – доля бюджета xj, котрую j страна расходует на закупку товаров у страны xi.

Введем матрицу коэффициентов aij. Тогда если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (торговый бюджет), то справедливо равенство: сумма всех ij=1.

Матрица А с последним свойством называется структурной матрицей торговли.

Для i страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой:

Pi = ai1x1+ai2x2+ainxn

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли.

Pi > или = Xi

Можно доказать, что в последнем условии может быть только «=»

Введем вектор бюджетов Х, каждая координата (компонента) которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда можно записать систему линейных уравнений соответствующих условиям бездефицитной торговли

Pi = Xi

A11x1+a12x2+a1nxn=x1

A21x1+a22x2+a2nxn=x2 и т.д.

Для определения вектора Х последнее уравнение можно переписать в виде

(А-Е)Х=0 =>для бездефицитной торговли должно выполняться условие альфа=1

Пусть структурная матрица, т.е. матрица с неотрицательными элементами, а ее собственный вектор с положительными элементами имеет вид

А= 0,2 0,3 0,2 0,2

0,4 0,3 0,1 0,2

0,3 0,3 0,5 0,2

0,1 0,1 0,2 0,4

Матрица дана для торговли 4-ех стран. Найти бюджет этих стран, которые удовлетворяют условию бездефицитной торговли (сбалансированной) при условии, что задана сумма бюджетов этих стран

Х1+х2+х3+х4 = 6270

Составим матричное уравнение

-0,8 0,3 0,2 0,2 х1 0

0,4 -0,7 0,1 0,2 * х2 = 0

Х3 0

Х4 0

Приведем матрицу к ступенчатому виду и составим систему уравнений

Х1+х2+2х3-6х4=0

-11х2-7х3+26х4=0

-11х3+20х4=0

Найдем все значения х!!!

Элементы аналитической геометрии на плоскости. Уравнение прямой в зависимости от параметра. Длина отрезка и деление отрезка в заданном соотношении.

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки ( , ) и ( , ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

, .

Длина отрезка на координатной плоскости.

Формула для определения длины отрезка, если известны координаты его концов:

Координаты середины отрезка.

Пусть точка С является серединой отрезка АВ:

Формула для нахождения координат середины отрезка:

Уравнение прямой походящей через две данные точки.

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

где (х₁; у₁) и (х₂; у₂) координаты заданных точек.

Подставив значения координат в формулу, она приводится к виду:

y = kx + b, где k — это угловой коэффициент прямой

Условия параллельности и перпендикулярности прямых и угол между ними. Расстояние от точки до прямой.

Пусть на плоскости заданы две прямые:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, т.е.

,или . (7.1)

Пример 1.Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Решение. Составим уравнение прямых, проходящих через точку :

. (7.2)

Выберем из этого пучка прямую, параллельную прямой . Для этого воспользуемся условием параллельности прямых. Так как ,то .По формуле (3.7) имеем, . В формулу (7.2) подставим значение :