Простейшие свойства транспортной задачи

4.3.1. Построение исходного опорного плана (метод северо-западного угла)

Для начала решения транспортной задачи необходимо иметь какой-то исходный опорный план, то есть оказаться в какой-то вершине допустимой области. Приведем конструктивный прием построения такого опорного плана, получивший название "метод северо-западного угла".

Итак, пусть имеется m складов с запасами

и n пунктов

потребления с потребностями .

Пусть запасы и потребности

сбалансированы, то есть .

Представим это в виде таблицы,

			...

где в столбце справа указаны запасы, в строке снизу - потребности, а пустые клетки оставлены для будущего плана перевозок.

Начнем заполнение с клетки, расположенной вверху слева, то есть с "северо-западного угла". Вместо впишем число . Возможны два варианта.

1. , то есть . Тогда, запланировав перевозку из первого склада в первый пункт потребления в объеме мы полностью опустошим первый склад и там ничего не останется. Поэтому все остальные перевозки из первого склада могут быть только нулевые.

Ну, а потребность в первом пункте потребления останется в объеме . Наша таблица примет вид:

			...
			...

Обратите внимание на то, что оставшаяся незаполненной часть таблицы вновь по структуре та же, что и исходная таблица, только в ней на одну строку меньше.

1. , то есть . Тогда, запланировав перевозку из первого склада в первый пункт потребления в объеме , мы полностью удовлетворим его потребности. Перевозить туда больше будет ничего не надо, поэтому остальные перевозки туда будут равны нулю.

Ну, а в первом складе еще останется запасов продукта. Наша таблица примет вид:

			...

Обратите внимание на то, что оставшаяся незаполненной часть таблицы вновь по структуре та же, что и исходная таблица, только в ней на один столбец меньше.

Ну, а дальше все можно повторить, продолжая заполнять оставшуюся часть таблицы перевозок начиная с левого верхнего, "северо-западного" угла, пока не будут исчерпаны запасы всех складов и не удовлетворены потребности всех пунктов потребления.

У нас всего в таблице m строк и n столбцов. Каждый раз исчезает, как минимум, либо строка, либо столбец (могут исчезнуть сразу и строка, и столбец, если запасы какого-то подмножества складов полностью удовлетворят потребности какого-то подмножества пунктов потребления). Однако при последней перевозке исчезает сразу и последняя строка, и последний столбец. Поэтому получающийся план перевозок содержит не

более

компонент.

Мы не будем доказывать, что план, полученный методом северо-западного угла, является опорным. Заметим лишь, что если получающийся план содержит ровно компоненту, то он называется невырожденным. Если число положительных компонент плана перевозок меньше , то он называется вырожденным.

Рассмотрим два примера. С целью экономии места, вся таблица не переписывается, а лишь приписываются последние строки и столбцы.

Пример 1

Пусть

Пример 2

Пусть Аналогичная процедура приводит к таблице, изображенной ниже.

В этом случае получившийся опорный план имеет всего 5 компонент, то есть является вырожденным. Это

произошло потому, что запасы складов и полностью удовлетворили потребности пунктов потребления и и поэтому в тот момент, когда эти сбалансированные потребности удовлетворились ( ), обнулились сразу и строка, и столбец.

Ниже вся теория будет строится для случая, когда все опорные планы невырожденные, то есть все они имеют компоненту. Как бороться с явлением вырождения, которое в транспортных задачах встречается достаточно часто - будет рассказано в самом конце

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: