Сделай Сам Свою Работу на 5

Двоичная позиционная система счисления





В двоичной системе счисления для записи произвольных чисел используются всего две цифры: 0,1. Основание этой системы счисления (число два) записывается двумя цифрами в виде . Остальные любые двоичные числа представляются в виде последовательности нулей и единиц.

Например, десятичное число 237,75 в двоичной системе счисления будет выглядеть так:

(здесь 10 означает число два).

Показатели степени у основания системы счисления также записаны в двоичной системе счисления.

Для удобства чтения записи представим изображения десятичных чисел от нуля до девяти в двоичной системе:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
0; 1; 10; 11; 100; 101; 110; 111; 1000; 1001.

 

Легко проверить теперь правильность двоичной записи числа двести тридцать семь целых семьдесят пять сотых в двоичной системе, переписав правую часть последнего равенства в десятичной системе счисления:

 

Из приведенных примеров следует, что весовые коэффициенты цифр двоичного числа являются числами, кратными целой степени (положительной или отрицательной) цифры два. При этом для целой части двоичного числа, начиная от младшего разряда к старшему, они равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т.д., а для дробной части двоичного числа от старшего разряда к младшему весовые коэффициенты цифр имеют значения и т.д.



Таблицы сложения, вычитания и умножения двоичных цифр, лежащие в основе двоичной арифметики, содержат всего четыре строки (табл. 1.1; 1.2; 1.3).

 

Таблица 1.1   Таблица 1.2   Таблица 1.3
0 + 0 = 0   0 - 0 = 0   0 ∙ 0 = 0
0 + 1 = 1   1 - 0 = 1   0 ∙ 1 = 0
1 + 0 = 1   1 - 1 = 0   1 ∙ 0 = 0
1 + 1 = 10   10 - 1 = 1   1 ∙ 1 = 1
Двоичная таблица сложения   Двоичная таблица вычитания   Двоичная таблица умножения

 

С помощью приведенных таблиц арифметические операции сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Пример:

Сложение Вычитание

 

+
11001011,101 11010101,1101

1110101,111 10001110,1111

101000001,100 1000110,1110

 

Умножение Деление

х
10110111,011 11011101101

11,101 1001 11000101



+
10110111011 1001

10110111011 1001

10110111011 1011

10110111011 1001

1010011000101111 1001

0000

Используя приведенные выше определения и приемы записи, легко построить позиционную систему счисления с любым основанием .

 

Восьмеричная позиционная система счисления

 

В восьмеричной позиционной системе счисления для записи всевозможных чисел используются восемь различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы счисления (число восемь) записывается уже двумя цифрами . Остальные любые числа представляются в виде последовательности восьмеричных цифр, разделенных запятой на целую и дробную часть.

Например, приведенное выше число двести пятьдесят семь целых семьдесят пять сотых, которое в десятичной системе имеет изображение 257,75, в восьмеричной системе будет записано следующим образом: (здесь 10 означает восемь) и все операции должны выполняться в восьмеричной системе счисления.

Правильность восьмеричного изображения числа двести пятьдесят семь целых семьдесят пять сотых легко проверить, переписав правую часть последнего равенства в десятичной системе счисления и произведя в этой системе соответствующие арифметические операции. Проделав все это, получим:

 

.

 

Сложение и вычитание восьмеричных чисел производится по тем же правилам, по которым эти действия выполняются в десятичной системе счисления. Однако при этом следует использовать восьмеричную таблицу сложения – вычитания (табл. 1.4).

 

Таблица 1.4

Восьмеричная таблица сложения – вычитания

 

+

В верхней строке и левом столбце таблицы записаны восьмеричные слагаемые. Восьмеричная сумма находится в ячейке на пересечении соответствующего столбца и строки.



При выполнении операции вычитания уменьшаемое находят на соответствующей диагонали таблицы, вычитаемое - на верхней строке (в левом столбце), а восьмеричную разность находят по методу пересечения в левом столбце (верхней строке) табл. 1.4.

Используя данную таблицу, легко выполнить операции сложения и вычитания многоразрядных восьмеричных чисел.

Пример:

Сложение Вычитание

215,76 165,34

+ 46,53 - 27,56

264,51 135,56

 

Восьмеричная таблица умножения может быть представлена следующим образом (табл. 1.5).

Таблица 1.5

Восьмеричная таблица умножения

 

Х

 

Правило получения произведения двух одноразрядных восьмеричных чисел по этой таблице аналогично правилу получения суммы по восьмеричной таблице сложения.

С помощью восьмеричной таблицы умножения и сложения, пользуясь теми же правилами, которые применяются в десятичной системе счисления, производятся умножение и деление восьмеричных многоразрядных чисел.

Пример:

Умножение Деление

х
146,32 1045021,12

52,71 5271 146,32

14632 31572

+
131466 25344

31464 42261

100002 40126

10450,2112 21331

20053

12562

00000

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.