Двоичная позиционная система счисления
В двоичной системе счисления для записи произвольных чисел используются всего две цифры: 0,1. Основание этой системы счисления (число два) записывается двумя цифрами в виде . Остальные любые двоичные числа представляются в виде последовательности нулей и единиц.
Например, десятичное число 237,75 в двоичной системе счисления будет выглядеть так:
(здесь 10 означает число два).
Показатели степени у основания системы счисления также записаны в двоичной системе счисления.
Для удобства чтения записи представим изображения десятичных чисел от нуля до девяти в двоичной системе:
0;
| 1;
| 2;
| 3;
| 4;
| 5;
| 6;
| 7;
| 8;
| 9.
| 0;
| 1;
| 10;
| 11;
| 100;
| 101;
| 110;
| 111;
| 1000;
| 1001.
|
Легко проверить теперь правильность двоичной записи числа двести тридцать семь целых семьдесят пять сотых в двоичной системе, переписав правую часть последнего равенства в десятичной системе счисления:
Из приведенных примеров следует, что весовые коэффициенты цифр двоичного числа являются числами, кратными целой степени (положительной или отрицательной) цифры два. При этом для целой части двоичного числа, начиная от младшего разряда к старшему, они равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т.д., а для дробной части двоичного числа от старшего разряда к младшему весовые коэффициенты цифр имеют значения и т.д.
Таблицы сложения, вычитания и умножения двоичных цифр, лежащие в основе двоичной арифметики, содержат всего четыре строки (табл. 1.1; 1.2; 1.3).
Таблица 1.1
|
| Таблица 1.2
|
| Таблица 1.3
| 0 + 0 = 0
|
| 0 - 0 = 0
|
| 0 ∙ 0 = 0
| 0 + 1 = 1
|
| 1 - 0 = 1
|
| 0 ∙ 1 = 0
| 1 + 0 = 1
|
| 1 - 1 = 0
|
| 1 ∙ 0 = 0
| 1 + 1 = 10
|
| 10 - 1 = 1
|
| 1 ∙ 1 = 1
| Двоичная таблица
сложения
|
| Двоичная таблица
вычитания
|
| Двоичная таблица
умножения
|
С помощью приведенных таблиц арифметические операции сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.
Пример:
Сложение Вычитание
11001011,101 11010101,1101
1110101,111 10001110,1111
101000001,100 1000110,1110
Умножение Деление
10110111,011 11011101101
11,101 1001 11000101
10110111011 1001
10110111011 1001
10110111011 1011
10110111011 1001
1010011000101111 1001
0000
Используя приведенные выше определения и приемы записи, легко построить позиционную систему счисления с любым основанием .
Восьмеричная позиционная система счисления
В восьмеричной позиционной системе счисления для записи всевозможных чисел используются восемь различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы счисления (число восемь) записывается уже двумя цифрами . Остальные любые числа представляются в виде последовательности восьмеричных цифр, разделенных запятой на целую и дробную часть.
Например, приведенное выше число двести пятьдесят семь целых семьдесят пять сотых, которое в десятичной системе имеет изображение 257,75, в восьмеричной системе будет записано следующим образом: (здесь 10 означает восемь) и все операции должны выполняться в восьмеричной системе счисления.
Правильность восьмеричного изображения числа двести пятьдесят семь целых семьдесят пять сотых легко проверить, переписав правую часть последнего равенства в десятичной системе счисления и произведя в этой системе соответствующие арифметические операции. Проделав все это, получим:
.
Сложение и вычитание восьмеричных чисел производится по тем же правилам, по которым эти действия выполняются в десятичной системе счисления. Однако при этом следует использовать восьмеричную таблицу сложения – вычитания (табл. 1.4).
Таблица 1.4
Восьмеричная таблица сложения – вычитания
+
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| В верхней строке и левом столбце таблицы записаны восьмеричные слагаемые. Восьмеричная сумма находится в ячейке на пересечении соответствующего столбца и строки.
При выполнении операции вычитания уменьшаемое находят на соответствующей диагонали таблицы, вычитаемое - на верхней строке (в левом столбце), а восьмеричную разность находят по методу пересечения в левом столбце (верхней строке) табл. 1.4.
Используя данную таблицу, легко выполнить операции сложения и вычитания многоразрядных восьмеричных чисел.
Пример:
Сложение Вычитание
215,76 165,34
+ 46,53 - 27,56
264,51 135,56
Восьмеричная таблица умножения может быть представлена следующим образом (табл. 1.5).
Таблица 1.5
Восьмеричная таблица умножения
Правило получения произведения двух одноразрядных восьмеричных чисел по этой таблице аналогично правилу получения суммы по восьмеричной таблице сложения.
С помощью восьмеричной таблицы умножения и сложения, пользуясь теми же правилами, которые применяются в десятичной системе счисления, производятся умножение и деление восьмеричных многоразрядных чисел.
Пример:
Умножение Деление
146,32 1045021,12
52,71 5271 146,32
14632 31572
131466 25344
31464 42261
100002 40126
10450,2112 21331
20053
12562
00000
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|