Раздел 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера. Сделать проверку.
Решение:
1) Решим систему методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы.
А* =
Преобразуем полученную матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
,
откуда получаем: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3.
2) Решим систему методом Крамера
D = = = 20 – 12 – 3 + 8 + 2 - 45 = -30;
D1 = = 0 – 48 – 42 + 32 + 28 - 0 = -30.
x1 = D1/D = 1;
D2 = = 140 + 0 -16 +56 – 0 – 240 = -60.
x2 = D2/D = 2;
D3 = = 160 – 56 + 0 – 0 – 210 + 16 = -90.
x3 = D3/D = 3.
Тема 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача 2. Даны вершины треугольника ABC:
А( -2 ; 1), В ( 10; 10), С( 8; -4).
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты;
3) угол А в радианах;
4) уравнения медианы АМ;
5) уравнение высоты СD и её длину;
Уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр.
Сделать чертёж.
Решение:
1) Расстояние d между точками М1 (x1; y1) и M2 (x2; y2) определяется по формуле:
(1)
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:
2) Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (x1; y1) и M2 (x2; y2), имеет вид:
(2)
Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
Для нахождения углового коэффициента kАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:
Отсюда kАВ =
Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.
Отсюда kАс = Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется, по формуле:
(3)
Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее
k1 = kАВ = , k2 = kАс =
А =-1.107 (рад.)
4)Так как AM является медианой в треугольнике, то точка М есть середина отрезка CВ. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:
Подставив в уравнение (2) координаты точек А и М, получим уравнение прямой АМ: 2x-11y+15=0
5) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 (x1; y1) в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:
(4)
Подставив в (4) координаты точки С и kСД = получим уравнение высоты CD:
Для нахождения длины CD определим координаты точке. D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):
x = 2
y = 4
Подставив в формулу, (1) координаты точек С и D, находим:
5)Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E (а; b) имеет вид:
(6)
Так как CD является диаметром искомой окружности, то её центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:
Следовательно, Е ( 3; 0) ,и R = 10. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:
На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник ABC, медиана АМ, высота CD, окружность с. центром в точке Е .
Рис. 1
Тема 3. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Задача 3. Вычислить пределы:
a)
b)
c)
d)
Решение:
a)Подстановка предельного значения аргумента х=2 приводит к неопределённому выражению . Для устранения этой неопределённости разложим числитель и знаменатель дроби на линейные множители и сократим дробь.
x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;
D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;
x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;
x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2;
Тогда
b)Подстановка предельного значения аргумента х=∞ приводит к неопределённому выражению . Для устранения этой неопределённости разделим числитель и знаменатель дроби на х2.
c)Применяя свойства пределов и следствие из формулы первого замечательного предела (где k – отличное от нуля действительное число), имеем:
d)При х→∞ стоящее пол знаком предела выражение приводит к неопределённости 1∞. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой величины при х→∞ и применим формулу второго замечательного предела.
Тема 4. Производная и дифференциал
Задание 4. Найти производные функций:
a)
b) .
c)
d)
Решение:
a)Применяя правила дифференцирования произведения, сложной функции и формулы дифференцирования, получим:
b)Применяя правило дифференцирования частного и формулы дифференцирования, получим:
c)Применяя правила дифференцирования сложной функции, частного и формулы дифференцирования, получим:
d)Применяя правила дифференцирования суммы, сложной функции, частного и формулы дифференцирования, получим:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|