Раздел 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера. Сделать проверку.

Решение:

1) Решим систему методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Преобразуем полученную матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

,

откуда получаем: x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 3.

2) Решим систему методом Крамера

D = = = 20 – 12 – 3 + 8 + 2 - 45 = -30;

D₁ = = 0 – 48 – 42 + 32 + 28 - 0 = -30.

x₁ = D₁/D = 1;

D₂ = = 140 + 0 -16 +56 – 0 – 240 = -60.

x₂ = D₂/D = 2;

D₃ = = 160 – 56 + 0 – 0 – 210 + 16 = -90.

x₃ = D₃/D = 3.

Тема 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Задача 2. Даны вершины треугольника ABC:

А( -2 ; 1), В ( 10; 10), С( 8; -4).

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты;

3) угол А в радианах;

4) уравнения медианы АМ;

5) уравнение высоты СD и её длину;

Уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр.

Сделать чертёж.

Решение:

1) Расстояние d между точками М₁ (x₁; y₁) и M₂ (x₂; y₂) определяется по формуле:

(1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

2) Уравнение прямой, проходящей через точки М₁ (x₁; y₁) и M₂ (x₂; y₂), имеет вид:

(2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

Для нахождения углового коэффициента k_АВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:

Отсюда k_АВ =

Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

Отсюда k_Ас = Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k₁ и k₂, определяется, по формуле:

(3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее

k₁ = k_АВ = , k₂ = k_Ас =

А =-1.107 (рад.)

4)Так как AM является медианой в треугольнике, то точка М есть середина отрезка CВ. Воспользовавшись фор­мулами деления отрезка пополам, получим:

Подставив в уравнение (2) координаты точек А и М, получим уравнение прямой АМ: 2x-11y+15=0

5) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₁ (x₁; y₁) в заданном угловым коэффициентом k направле­нии, имеет вид:

(4)

Рис. 1

Тема 3. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Задача 3. Вычислить пределы:

a)

b)

c)

d)

Решение:

a)Подстановка предельного значения аргумента х=2 приводит к неопределённому выражению . Для устранения этой неопределённости разложим числитель и знаменатель дроби на линейные множители и сократим дробь.

x² – 6x + 8 = 0; x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2 ; x₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

b)Подстановка предельного значения аргумента х=∞ приводит к неопределённому выражению . Для устранения этой неопределённости разделим числитель и знаменатель дроби на х².

c)Применяя свойства пределов и следствие из формулы первого замечательного предела (где k – отличное от нуля действительное число), имеем:

d)При х→∞ стоящее пол знаком предела выражение приводит к неопределённости 1^∞. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой величины при х→∞ и применим формулу второго замечательного предела.

Тема 4. Производная и дифференциал

Задание 4. Найти производные функций:

a)

b) .

c)

d)

Решение:

a)Применяя правила дифференцирования произведения, сложной функции и формулы дифференцирования, получим:

b)Применяя правило дифференцирования частного и формулы дифференцирования, получим:

c)Применяя правила дифференцирования сложной функции, частного и формулы дифференцирования, получим:

d)Применяя правила дифференцирования суммы, сложной функции, частного и формулы дифференцирования, получим:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: