Основные меры механического движения. Теоремы об изменении количества движения и момента количества движения.

Количество движения

Количеством движения материальной точки называется вектор, равной произведению массы точки на ее скорость:

Количеством движения системы материальных точек называется векторная сумма количеств движений всех ее точек:

Кинетическая энергия

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат модуля ее скорости:

Кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий всех ее точек:

Момент количества движения

Моментом количества движения (или кинетическим моментом) материальной точки относительно центра О называется векторное произведение радиус-вектора материальной точки на ее количество движения:

Моментом количества движения относительно оси называется проекция на эту ось момента количества движения материальной точки относительно любой точки, взятой на оси.

Моментом количества движения (или кинетическим моментом) системы материальных точек относительно центра O называется главный момент количества движения всех ее точек относительно этого центра:

Теорема об изменении количества движения

Изменение количества движения материальной точки определяется вторым законом Ньютона:

Теорема. Первая производная по времени от количества движения системы материальных точек равна главному вектору внешних сил.

Доказательство.

Где

Тогда

- элементарный импульс силы

- импульс силы

Тогда

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

Теорема. Первая производная по времени от момента количества движения материальной точки равна моменту равнодействующей силы.

Где

Тогда

Теорема об изменении момента количества движения системы материальных точек

Теорема. Первая производная момента количества движениясистемы равна главному моменту внешних сил.

Доказательство

Где

Тогда

Работы силы, мощность. Вычисление работы внешних сил, приложенных к твердому телу. Теорема о изменении кинетической энергии.

Работа силы, мощность

При

При

При векторном способе задания движения:

При координатном способе задания движения:

При естественном способе задания движения:

Единица измерения работы: 1 Дж=1Нм=1кГм² /с² .

Единица измерения мощности: 1 Вт=1Дж/с.

Теорема. Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ ее составляющих.

Доказательство

Вычисление работы внешних сил,приложенных к твердому телу

Поступательное движение

При поступательном движении

тогда

Следовательно, при поступательном движении твердого тела элементарная работа внешних сил равна работе главного вектора этих сил на элементарном перемещении центра масс.

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Выбирая полюс О на оси вращения Oz твердого тела, получим:

Тогда

Следовательно, во вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси элементарная работа внешних сил, приложенных к твердому телу, равна работе главного момента этих сил относительно оси вращения на элементарном угловом перемещении тела.

Плоско-параллельное движение

Элементарная работа внешних сил, приложенных к твердому телу, совершающему плоско-параллельное движение, равна сумме работ главного вектора этих сил на элементарном перемещении центра масс тела и главного момента этих сил относительно центра масс на элементарном вращательном движении вокруг центра масс.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Теорема. Приращение кинетической энергии материальной точки на некотором участке траектории равняется работе равнодействующей силы на том же участке траектории.

Доказательство

Следовательно, элементарное приращение кинетической энергии материальной точки равно элементарной работе приложенной к ней силе (теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме).

Равенство (26.8) выражает теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: